Currículo
Álgebra Linear e Aplicações II 05039
Contextos
Groupo: Matemática Aplicada à Economia e às Finanças > 1º Ciclo > Unidades Curriculares Obrigatórias
ECTS
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
OA1: Compreender e aplicar o conceito de produto interno e ortogonalidade em espaços vetoriais complexos. OA2: Aplicar o método dos mínimos quadrados na resolução de problemas. OA3. Aplicar decomposições matriciais (SVD e QR). OA4. Identificar blocos de Jordan e implementar a forma canónica de Jordan de uma matriz. OA5. Conhecer resultados fundamentais de espaços métricos e normados. OA6. Compreender as noções de completude e separabilidade. OA7. Identificar espaços vetoriais de dimensão infinita. OA8. Conhecer a estrutura de espaço de Hilbert. OA9. Calcular bases de Fourier de certos espaços de Hilbert L^2.
Programa
CP1. Espaços Euclideanos 1.1. Produto interno, bases ortogonais e ortonormalização de Gram-Schmidt. 1.2. Complemento ortogonal de um subespaço. 1.3. Método dos mínimos quadrados. 1.4. Matrizes ortogonais e unitárias. 1.5. Matrizes simétricas e hermitianas. 1.6. Teoremas espetrais de matrizes hermitianas e normais. 1.7. Decomposição em valores singulares e decomposição QR. CP2. Forma canónica de Jordan 2.1. Vetores próprios generalizados. 2.2. Endomorfismos nilpotentes. 2.3. Forma canónica de Jordan. CP3. Espaços métricos e espaços normados 3.1. Espaços métricos. 3.2. Espaços normados. 3.3. Completude e separabilidade. 3.4 Teorema da contração de Banach. CP4. Introdução aos espaços de Hilbert 4.1 Definição e existência de bases ortonormadas. 4.2 O problema da melhor aproximação em espaços de Hilbert. 4.3 Dualidade: o Teorema da representação de Riesz. 4.4 Base de Fourier dos espaços de Hilbert L^2.
Método de Avaliação
As metodologias de ensino e de aprendizagem (MEA) desta UC permitem que os estudantes adquiram tanto o conhecimento teórico como as competências práticas necessárias para alcançar os objetivos de aprendizagem estabelecidos. As aulas dividem-se em sessões teórico-práticas e práticas com programação em Python. A MEA1 (Exposição e discussão) permite aos alunos adquirir conhecimento teórico através de explicações detalhadas e debates sobre os temas estudados, facilitando a compreensão dos conceitos fundamentais. Esta metodologia é complementada pela MEA2 (Resolução de exercícios), que oferece aos estudantes a oportunidade de aplicar o conhecimento teórico em situações práticas, promovendo a resolução de problemas e a consolidação dos conceitos aprendidos. Além disso, a MEA3 (Trabalho autónomo) é crucial para o desenvolvimento da autonomia e responsabilidade dos alunos no seu processo de aprendizagem. Espera-se que os alunos dediquem de 4 a 6 horas semanais ao trabalho autónomo, que inclui a consulta da bibliografia indicada e a revisão da matéria, bem como a resolução de exercícios e problemas. Este tempo também é destinado à realização de experiências computacionais utilizando Python, uma ferramenta essencial para a aplicação prática dos conceitos de Álgebra Linear. Este modelo pedagógico, que integra aulas expositivas, resolução de exercícios e trabalho autónomo com programação em Python, assegura uma aprendizagem ativa e contextualizada, preparando os alunos para enfrentar desafios reais e complexos no campo da matemática aplicada e da economia e finanças.
Carga Horária
Carga Horária de Contacto -
Trabalho Autónomo - 95.0
Carga Total -