Currículo

Modelação e Dinâmica I 05045

Contextos

ECTS

6.0 (para cálculo da média)

Objectivos

OA1. Construir e analisar modelos matemáticos baseados em equações diferenciais. OA2. Determinar a solução analítica de algumas equações diferenciais notáveis. OA3. Obter soluções aproximadas de equações diferenciais usando métodos numéricos apropriados. OA4. Implementar, em python, alguns dos métodos numéricos referidos no ponto anterior. OA5. Interpretar dum ponto vista financeiro os modelos desenvolvidos e os resultados obtidos através dos mesmos.

Programa

I. Equações diferenciais ordinárias (EDOs) 1. Equações de variáveis separadas. 2. EDOs lineares de 1ª e 2ª ordem. 3. Sistemas de EDOs lineares. 4. Teoremas de Existência e Unicidade. 5. Métodos de Euler e de Runge-Kutta. 6. Aplicações a ciências naturais, economia e finanças. II. A equação do calor. 1. Introdução às equações às derivadas parciais. 2. A equação do calor na física e em finanças. 3. Existência e unicidade. 4. Solução Fundamental e solução em termos de séries Fourier. 5. Diferenças finitas. 6. Opções Financeiras e o modelo de Black-Scholes. III. Equações de Hamilton-Jacobi (HJ). 1. HJ no contexto financeiro. 2. Propriedades fundamentais. 3. Método das características. 4. Modelos de portfólio de Merton. 5. Diferenças finitas para HJ. 6. PINNs – Physics Informed Neural Networks.

Método de Avaliação

ME1. Aulas teórico-práticas: Nestas aulas serão apresentados os principais conceitos e técnicas explicitados no programa. Será ainda reservado tempo para discussão com os alunos, esclarecimento de dúvidas, resolução de exercícios e acompanhamento do projeto. ME2. Aulas laboratoriais: Desenvolvimento, em Pyhton, dos métodos numéricos/computacionais previstos no programa. ME3. Projeto: Desenvolvido em grupo, ao longo do semestre, com a análise detalhada de um modelo de matemática financeira, envolvendo dados e implementação computacional, usando PINNs – Physics Informed Neural Networks. ME4. Auto-estudo: Leitura de textos teóricos e resolução de exercícios.

Carga Horária

Bibliografia

Principal

• 1. Sandro Salsa, “Partial Differential Equations in Action”, Springer (2022). 2. Martin Braun, “Differential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics”, 4th edition, Springer (1993). 3. Pedro M. Girão, “Introdução à Análise Complexa, Séries de Fourier e Equações Diferenciais”, 2ª edição, IST press (2022). 4. Richard L. Burden and J. Douglas Faires, “Numerical Analysis”, Brooks/Cole, Cengage Learning (2010). 5. Miguel Ramos, “Curso Elementar de Equações Diferenciais”, Faculdade de Ciências (2000) : -- -- --

Secundária

Disciplinas de Execução