Currículo

Análise Funcional Aplicada AFA

Contextos

ECTS

6.0 (para cálculo da média)

Objectivos

OA1. Compreender os fundamentos da Teoria da Medida e da Integração de Lebesgue, incluindo os conceitos de mensurabilidade, medida e integração. OA2. Aplicar os conceitos fundamentais de Análise Funcional em espaços de Banach e de Hilbert. OA3. Estudar séries e transformadas de Fourier, analisando as suas propriedades algébricas, analíticas, computacionais e aplicações em diferentes contextos. OA4. Desenvolver o raciocínio matemático e a capacidade de abstração. OA5. Aplicar ferramentas da Análise Funcional e das Transformadas de Fourier na modelação e resolução de problemas em áreas como o processamento de sinais e as equações diferenciais. OA6. Implementar algoritmos computacionais utilizando a linguagem de programação Python.

Programa

CP1. Teoria da medida e integração - Conjuntos mensuráveis e medida de Lebesgue - Funções mensuráveis - Integral de Lebesgue - Teoremas de convergência - Espaços Lp e desigualdades fundamentais - Teorema de Radon- Nikodym CP2. Espaços de Banach e Espaços de Hilbert - Espaços normados - Completude e espaços de Banach - Dualidade - Teorema de Hahn-Banach - Espaços de Hilbert - Teorema da representação de Riesz - Operadores lineares limitados - Teorema espectral de operadores compactos e auto-adjuntos CP3. Séries e Transformadas de Fourier - Séries de Fourier - Transformada de Fourier - Aplicações: processamento de sinal e equações diferenciais

Método de Avaliação

Avaliação ao longo do semestre: - seis fichas de exercícios individuais ao longo do semestre, com o peso de 20% na nota final; - trabalho individual realizado ao longo do semestre, com entrega de um relatório escrito, uma componente de implementação em Python e apresentação no final do período letivo, com o peso de 30% na nota final; - teste final presencial com o peso de 50 % na nota final, com nota mínima de 8.5 valores; - os elementos de avaliação estão sujeitos a discussão. Avaliação por exame (1.ª Época em caso de escolha do estudante, 2.ª Época e Época Especial): Exame presencial (100% da nota final).

Carga Horária

Bibliografia

Principal

• "E. M. Stein & R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (1st ed.), Princeton University Press, 2005. ISBN 978-0-691-11386-9 E. M. Stein & R. Shakarchi, Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis (1st ed.) Princeton University Press, 2011. ISBN 978-0-691-11387-6 E. M. Stein & R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (1st ed.) Princeton University Press, 2003. ISBN 978-0-691-11384-5 : . .

Secundária

• " H . Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (1st ed.), Springer, 2011. ISBN: 978-0-387-70914-7 G. B. Folland, Real Analysis - Modern Techniques and Their Applications (2nd ed.) John Wiley Amp. Sons Inc., 2007. ISBN: 978-0-471-31716-6: . .

Disciplinas de Execução