Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Conhecimentos básicos de cálculo em R^n, álgebra linear, probabilidades e programação são fortemente recomendados.

Objetivos Gerais / Objectives

Esta disciplina foca-se no ensino de optimização em R^n, equações às diferenças, equações diferenciais ordinárias e programação dinâmica, no contexto de economia e finanças. Nela será dado ênfase tanto às questões analíticas fundamentais, assim como a métodos numéricos para a obtenção de soluções aproximadas. Os métodos numéricos serão implementados em MATLAB. É dirigida a alunos de doutoramento de economia e finanças.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final do período curricular desta UC, o aluno deverá conseguir: OA1.1 Determinar, analítica ou numericamente, a solução de problemas de optimização não-linear. OA1.2 Determinar e analisar, analítica e numericamente, soluções para algumas equações às diferenças. OA1.3 Determinar e analisar, analítica e numericamente, soluções para algumas equações diferenciais ordinárias. OA1.4 Aplicar os principais resultados de programação dinâmica. O aluno deverá ainda: OA2.1 Ficar familiarizado com as técnicas básicas de programação em MATLAB. OA2.2 Ser capaz de identificar e aplicar métodos numéricos adequados à resolução de problemas concretos de economia e finanças. OA2.3 Ser capaz de implementar métodos numéricos em MATLAB e analisar de forma crítica os resultados obtidos do ponto vista matemático, computacional e económico/financeiro.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

I. Otimização em R^n. (a) Otimização sem restrições: Condições necessárias e suficientes para a existência de extremos. Descida máxima. Métodos de Newton e quasi-Newton. (b) Otimização com restrições: condições Karush-Kuhn-Tucker. Métodos de penalização. Mínimos quadrados. II Equações às diferenças. (a) Equações lineares. (b) Algumas equações não-lineares notáveis. (c) Análise de equilíbrio. (d) Cadeias de Markov. (e) Aplicações: juros compostos e ruína do jogador. III. Equações diferenciais ordinárias. (a) Algumas equações notáveis. (b) Existência, unicidade e métodos qualitativos. (c) Método de Euler e amigos. (d) Aplicações: taxas de juros dinâmicas, movimento Browniano geométrico, demografia e turbulência. IV. Programação dinâmica. (a) Programação dinâmica em tempo discreto. (b) Programação dinâmica em tempo contínuo. (c) Controlo ótimo. (d) Métodos numéricos. (e) Aplicações: modelos de desenvolvimento sustentável e dinheiro na utilidade.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

Os conteúdos programáticos (CP) relacionam-se com os objetivos de aprendizagem (OA) da seguinte forma: O OA 1.1 é abordado no CP I, onde é introduzida a optimização não-linear sem e com restrições. O OA 1.2 é abordado no CP II, onde são introduzidas as equações às diferenças e a sua resolução analítica e numérica e aplicações. O OA 1.3 é abordado no CP III, onde são introduzidas as equações diferenciais ordinárias e a sua resolução analítica e numérica e aplicações. O OA 1.4 é abordado no CP IV, onde é discutida programação dinâmica em tempo discreto e contínuo e aplicações. Os OA 2 são abordados em todos os CP. Com efeito, em todos os conteúdos programáticos serão discutidas aplicações em Economia e Finanças e a sua concretização, utilizando métodos numéricos adequados e a sua implementação em Matlab. Cada conteúdo programático está diretamente vinculado a pelo menos um objetivo de aprendizagem, garantindo uma formação abrangente e coerente.

Avaliação / Assessment

A nota final será baseada em 3 trabalhos de casa realizados em grupos de 2 ou 3 elementos (60%) e num exame final (40%) com nota mínima de 8.0 valores. Dada a natureza da avaliação escolhida para a unidade curricular, não existe segunda época. O professor responsável reserva-se o direito de fazer orais sempre que considere necessário.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Nas aulas far-se-á a exposição teórica dos principais conceitos e técnicas (ME1). A introdução à programação em MATLAB será feita por resolução de exercícios nas aulas e em trabalhos para casa (ME2). O principal veículo de aprendizagem será o trabalho autónomo através da resolução de problemas para trabalho de casa (ME3).

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino-aprendizagem (MEA) desta unidade curricular estão desenhadas para atingir os objetivos de aprendizagem (OA) estabelecidos. A MEA1 (Exposição e discussão) é fundamental para alcançar o OA1, uma vez que permite aos alunos compreender a teoria por trás dos conceitos e métodos apresentados nos conteúdos programáticos. Durante as aulas teórico-práticas os conceitos fundamentais são explicados e debatidos, garantindo uma compreensão sólida e profunda. A discussão em aula promove um ambiente de aprendizagem ativa, onde os alunos podem clarificar dúvidas e aprofundar o seu conhecimento, essencial para a assimilação dos temas abordados. A MEA2 (Resolução de exercícios) e a MEA3 (Trabalho autónomo) complementam a exposição teórica, garantindo que os alunos não só compreendem a teoria, mas também são capazes de aplicá-la em situações práticas. Durante as aulas, os alunos são incentivados a resolver exercícios em conjunto com o professor, aplicando os conhecimentos adquiridos para resolver problemas relacionados com os OA1 e OA2. A programação em MATLAB (OA2) é integrada nas aulas, permitindo aos alunos explorar os conteúdos programáticos de forma interativa e prática. Para solidificar os conteúdos aprendidos em aula, é essencial que os alunos dediquem de 4 a 6 horas semanais ao trabalho autónomo. Este tempo deve ser utilizado para a revisão da matéria, consulta da bibliografia recomendada, resolução adicional de exercícios e realização de experiências computacionais em MATLAB, assegurando uma aprendizagem contínua e profunda que abrange todos os objetivos de aprendizagem da unidade curricular.

Observações / Observations

Bibliografia Principal / Main Bibliography

6. Chiang, A. C. and Wainwright, K. ?Fundamental Methods of Mathematical Economics?, 4th edition, McGraw-Hill/Irwin (2015). 5. Acemoglu, D. "Introduction to Modern Economic Growth", Princeton University Press (2009). 4. Burden, R.L. and Faires, J.D. "Numerical Analysis", Prindle, Weber & Schmidt, Boston (1993). 3. Braun, M. "Differential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics", 4th edition, Springer (1993). 2. Elaydi, S. "An Introduction to Difference Equations", 3rd edition, Springer (2005). 1. Nocedal, J. and Wright, S. "Numerical optimization", 2nd edition, Springer (2006).

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

6. Heer, R. and Maussner, A. "Dynamic General Equilibrium Modeling Computational Methods and Applications", Springer (2005). 5. Miranda, M. J. and Fackler, P.L. "Applied Computational Economics and Finance", MIT Press (2002). 4. Brandimarte, P. "Numerical Methods in Finance and Economics", 2nd edition, John Wiley & Sons (2006). 3. Boyce, W. and di Prima, R. "Elementary Differential Equations", 10th edition, John Wiley & Sons (2012). 2. Banasiak, J. "Mathematical modelling in one dimension: an introduction via difference and differential equations", Cambridge University Press (2013). 1. Miao, J. "Economic dynamics in discrete time", MIT press (2013).

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-26