Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Não se aplica.

Objetivos Gerais / Objectives

Este é um curso elementar de álgebra linear que abrange os seguintes tópicos centrais: vetores e subespaços de R^n, sistemas de equações lineares, matrizes, determinantes, transformações lineares, valores e vetores próprios. Estes tópicos proporcionam uma base sólida para o estudo de cursos e/ou áreas que utilizam a álgebra linear. As principais metas curriculares desta unidade curricular incluem: 1 - a compreensão dos conceitos fundamentais da álgebra linear; 2 - aprender a realizar operações com vetores e matrizes e resolver sistemas de equações lineares utilizando os métodos algorítmicos de Gauss e Gauss-Jordan; 3 - a utilização de ferramentas de álgebra linear para modelar e resolver problemas reais; 4 - reconhecer a importância e a aplicação da álgebra linear noutras áreas, como engenharia, computação ou, em particular, ciência de dados.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da UC, cada estudante deverá ser capaz de: OA1. Definir vetores e explicar as suas propriedades. Realizar operações com vetores no espaço euclideano R^n. Definir e determinar subespaços de R^n, respetivas bases e dimensão. OA2. Aplicar os métodos de eliminação de Gauss e Gauss-Jordan para resolver e classificar sistemas lineares. Interpretar geometricamente as suas soluções. OA3. Dar exemplos de diferentes tipos de matrizes e realizar operações com matrizes. Formular relações de matrizes com vetores e sistemas lineares. OA4. Reconhecer uma transformação linear. Determinar as matrizes associadas, os subespaços núcleo e imagem. Efetuar mudanças de base. OA5. Calcular determinantes. Explicar as suas propriedades e aplicações. OA6. Definir e determinar valores e vetores próprios. Diagonalizar matrizes. Calcular potências inteiras de matrizes diagonalizáveis.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Vetores O espaço vetorial R^n. Produto interno e norma. Combinações lineares e independência linear. Bases e dimensão. Coordenadas. CP2. Sistemas de equações lineares Método de eliminação de Gauss. Classificação de sistemas lineares. CP3. Matrizes Soma e multiplicação escalar. Produto matricial. Transposição. Matriz inversa e propriedades. CP4. Funções lineares Função linear. Matriz de uma função linear. Subespaços núcleo e imagem e teorema da dimensão. Mudança de base. CP5. Determinantes Definição e propriedades do determinante. Determinantes e operações elementares. CP6. Valores e vetores próprios Valores e vetores próprios. Subespaços próprios. Diagonalização.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

O CP1 define o espaço vetorial R^n, produto interno e norma de vetores, fornecendo uma base sólida para atingir OA1, i.e. para a compreensão de conceitos geométricos e algébricos de vetores e subespaços em R^n. O método de eliminação e a classificação de sistemas lineares, conteúdos do CP2, contribuem diretamente para OA2. A interpretação geométrica das soluções é implicitamente desenvolvida na classificação dos sistemas. O CP3 introduz a álgebra matricial e cumpre parcialmente OA3. O conceito de matriz surge de forma natural em CP1 e CP2 e permite uma formulação da relação entre matrizes, vetores e sistemas lineares, cumprindo assim OA3. O CP4 está em correspondência direta com OA4. O teorema da dimensão reforça a compreensão estrutural das transformações lineares. A definição de determinante e o estudo das suas propriedades são essenciais para alcançar o OA5. O CP6 contribui diretamente para o OA6. O cálculo de potências inteiras de matrizes diagonalizáveis resulta da diagonalização.

Avaliação / Assessment

Os alunos podem optar por uma das seguintes modalidades de avaliação: (AS) Avaliação ao longo do semestre: - 3 mini-testes presenciais (20%), com as seguintes regras: * realizados em aula, ao longo do período letivo; * a nota final nesta componente é a média aritmética das duas melhores notas de entre os três mini-testes (contribuindo 10\% cada uma); * nota mínima de 10.0 valores na média aritmética dos dois melhores mini-testes. - 2 quizzes online (10%), com as seguintes regras: * realizados no Moodle, no período letivo; * a nota final nesta componente será a média das notas obtidas (contribuindo 5% cada) * nota mínima de 10.0 valores na média aritmética dos dois quizzes. - Prova escrita (70%), na 1a época de avaliação, com nota mínima de 8.5 valores. (AE) Avaliação por Exame: Prova escrita (100%), na 1a época ou 2º época de avaliação, incidindo sobre toda a matéria lecionada na unidade curricular. Outras regras de avaliação: - A Prova escrita da AS incide sobre toda a matéria lecionada e realiza-se em simultâneo com a prova da AE em 1.ª época. - O aluno obtém aprovação à cadeira se a nota final for maior ou igual a 10 valores. - A nota final do aluno corresponde à melhor nota obtida entre a modalidade AS e a modalidade AE; - Os professores responsáveis reservam-se o direito de fazer orais sempre que considerem necessário.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As aulas são de carácter teórico-prático. São usadas três metodologias de ensino e aprendizagem principais: exposição e discussão da matéria (MEA1), resolução de exercícios (MEA2) e trabalho autónomo dos alunos (MEA3). A combinação destas abordagens pretende garantir uma aprendizagem eficaz e coesa dos conceitos e técnicas essenciais. Regra geral, num primeiro momento, as aulas têm um carácter mais teórico e usa-se a MEA1. O professor apresenta os conceitos teóricos, definições, teoremas e algumas demonstrações fundamentais da álgebra linear, sempre acompanhados de exemplos ilustrativos. São utilizados recursos visuais como slides e quadro. Sempre que possível, os alunos são desafiados a participar e a discutir os conceitos apresentados. A MEA2 é então usada num segundo momento, focando-se na aplicação prática dos conceitos teóricos aprendidos. Os exercícios podem ser resolvidos individualmente ou em grupos, dentro e fora da sala de aula. Nestas aulas de carácter prático, os alunos resolvem os problemas indicados no Planeamento da Unidade Curricular (PUC), com a orientação do professor, permitindo uma interação direta e imediata para esclarecer dúvidas. Paralelamente, o aluno deve realizar um trabalho autónomo (MEA3). O trabalho autónomo incentiva a autonomia e a responsabilidade no processo de aprendizagem, e envolve a resolução de exercícios recomendados pelos professores, a leitura da bibliografia recomendada e a procura de recursos adicionais, como vídeos ou softwares educacionais. Existem ainda aulas de atendimento semanal onde os alunos podem discutir dificuldades específicas e receber orientação adicional na resolução de problemas mais complexos.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino adotadas no curso de Fundamentos de Álgebra Linear são organizadas para garantir que os alunos alcancem os objetivos de aprendizagem estabelecidos. Cada metodologia está alinhada com os objetivos de aprendizagem OA1-OA6 da seguinte forma: A MEA1 garante que cada aluno possa desenvolver uma compreensão sólida dos conceitos fundamentais de álgebra linear ao apresentar os conceitos, as propriedades e os métodos, de forma expositiva, detalhada, e com exemplos ilustrativos. A aquisição de competências para aplicar os conceitos teóricos é alcançada através da MEA2, através da resolução e discussão de exercícios em aulas, em grupo ou individualmente, com a orientação do professor. A prática autónoma da MEA3, através da resolução de exercícios adicionais e da leitura de outros recursos, dá autonomia e reforça a aprendizagem de todos os objetivos de aprendizagem.

Observações / Observations

Funcionamento dos mini-testes presenciais: - Os mini-testes são realizados no início ou no final das aulas para os quais estão agendados e têm a duração máxima de 20 minutos. O resto da aula prossegue normalmente. - Os mini-testes são realizados sem consulta. Funcionamento dos quizzes online: - Serão realizados 2 quizzes ao longo do período letivo, utilizando-se a plataforma de e-learning Moodle. - Cada quiz poderá ser realizado ao longo de 72 horas, as quais serão oportunamente anunciadas. No entanto, após o início, a prova terá a duração máxima de 30 minutos (45 minutos para alunos com NEE que exijam mais 50% de tempo). - Os quizzes devem ser resolvidos individualmente, e cada aluno dispõe de uma única tentativa para submeter um quiz. - A nota final dos quizzes será a média aritmética das notas das duas provas online. - Nota mínima de 10.0 valores na média aritmética dos dois quizzes.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (sixth edition) Wellesley-Cambridge Press. Apoio teórico fornecido pelos docentes. Caderno de exercícios fornecido pelos docentes.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Lay, D., Lay, S., & McDonald, J. (2016) Linear Algebra and Its Applications (fifth edition) Pearson.

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-25