Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Os alunos devem estar familiarizados com conceitos básicos de cálculo diferencial e integral a uma variável, e de álgebra linear, tal como lecionados nas cadeiras de Tópicos de Matemática I e de Fundamentos de Álgebra Linear.

Objetivos Gerais / Objectives

Este é um curso elementar de cálculo a várias variáveis que abrange os seguintes tópicos centrais: funções de várias variáveis, derivadas parciais, integrais duplos. Estes tópicos proporcionam uma base sólida para o estudo de disciplinas e áreas que utilizam cálculo avançado, especialmente em ciência de dados. As principais metas curriculares são: 1 - compreensão dos conceitos fundamentais do cálculo a várias variáveis; 2 - aprender a calcular derivadas parciais, integrais duplos, e aplicar essas técnicas em problemas práticos. 3 - utilização de ferramentas de cálculo a várias variáveis para modelar e resolver problemas em áreas como engenharia, física, computação e, particularmente, ciência de dados. 5 - apreciar a relevância do cálculo a várias variáveis em outras áreas do conhecimento e em situações práticas, preparando-se para cursos avançados e aplicações profissionais.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da UC, cada estudante deverá ser capaz de: OA1. Calcular derivadas parciais e gradientes (algebricamente e numericamente). OA2. Determinar aproximações lineares de funções de várias variáveis. OA3. Determinar e caracterizar pontos críticos de funções de várias variáveis (algebricamente e numericamente). OA4. Aplicar os conceitos anteriores no contexto de problemas de regressão linear. OA5. Calcular integrais duplos (algebricamente e numericamente). OA6. Aplicar o cálculo integral ao cálculo de áreas, volumes e probabilidades. OA7. Interpretar geometricamente todos os conceitos estudados. OA8. Implementar em MATLAB alguns dos métodos computacionais desenvolvidos.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Cálculo Diferencial. 1.1. Limites e continuidade 1.2. Derivadas parciais. 1.3. Plano tangente e diferenciabilidade. 1.4. Regra da cadeia. 1.5. Cálculo e classificação de pontos críticos. 1.6. Descida do gradiente. 1.7. Regressão linear. CP2. Cálculo Integral. 2.1. Integrais duplos. 2.2. Integrais duplos em coordenadas polares. 2.3. Aplicações: áreas e volumes; densidades e massas; teoria das probabilidade.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

Contribuem para OA1 os conteúdos CP1.2 e CP1.6, que fornecem as bases para calcular derivadas parciais e gradientes, aplicados em métodos de otimização como a descida do gradiente. O CP1.3 aborda o plano tangente e a diferenciabilidade, essenciais para a linearização de funções e alcançar OA2. CP1.5 e CP1.6 estão diretamente associados a OA3, ao fornecer os métodos para encontrar e classificar pontos críticos. O CP1.7 integra o cálculo diferencial com a aplicação em regressão linear, alinhando com OA4. CP2.1 e CP2.2 focam no cálculo de integrais duplos, em correspondência direta com OA5. OA6 alinha com o CP2.3, ao aplicar o cálculo integral para calcular áreas, volumes e probabilidades. CP1 e CP2 fornecem uma compreensão dos conceitos geométricos, ajudando na visualização e interpretação das funções, contribuindo assim para OA7. Alguns CPs são apoiados por trabalho dos alunos, que implementam os métodos usando MATLAB, reforçando a compreensão dos conceitos, em correspondência com OA8.

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores numa das modalidades: - Avaliação ao longo do semestre: Teste Escrito (80%) + mini-projetos MATLAB (20%). - Avaliação por Exame (100%), em qualquer uma das épocas de exame.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As aulas são de carácter teórico-prático. São usadas três metodologias de ensino e aprendizagem principais: exposição e discussão da matéria (MEA1), resolução de exercícios (MEA2) e trabalho autónomo dos alunos (MEA3). A combinação destas abordagens pretende garantir uma aprendizagem eficaz e coesa dos conceitos e técnicas essenciais. Regra geral, num primeiro momento, as aulas têm um carácter expositivo, usa-se a MEA1. O professor apresenta os exemplos ilustrativos, conceitos teóricos, e alguns teoremas fundamentais. Sempre que possível, os alunos são desafiados a participar e a discutir os conceitos apresentados. A MEA2 é então usada num segundo momento, focando-se na aplicação prática dos conceitos aprendidos. Os exercícios podem ser resolvidos individualmente ou em grupos, dentro e fora da sala de aula. Nestas aulas de carácter prático, os alunos resolvem os problemas indicados no Planeamento da Unidade Curricular (PUC), com a orientação do professor, permitindo uma interação direta e imediata para esclarecer dúvidas. Paralelamente, o aluno deve realizar um trabalho autónomo (MEA3). O trabalho autónomo incentiva a autonomia e a responsabilidade no processo de aprendizagem, e envolve a resolução de exercícios recomendados pelos professores, a leitura da bibliografia recomendada, e realização de experiências computacionais com a utilização do MATLAB.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino adotadas no curso de Tópicos de Matemática II são organizadas para garantir que os alunos alcancem os objetivos de aprendizagem estabelecidos. Cada metodologia está alinhada com os objetivos de aprendizagem OA1-OA8 da seguinte forma. A MEA1 garante que cada aluno possa desenvolver uma compreensão sólida dos conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral a várias variáveis ao apresentar os conceitos, as propriedades e os métodos, de forma expositiva, detalhada, e com exemplos ilustrativos. A aquisição de competências para aplicar os conceitos teóricos é alcançada através da MEA2, através da resolução e discussão de exercícios em aulas, em grupo ou individualmente, com a orientação do professor. A prática autónoma da MEA3, através da resolução de exercícios adicionais, da leitura de outros recursos, dá autonomia e reforça a aprendizagem de todos os objetivos de aprendizagem.

Observações / Observations

Observações relativas à avaliação: - O teste escrito tem uma nota mínima de 8.0 valores em 20. - Os mini-projetos de MATLAB devem ser realizados em grupos de 4 elementos. Em casos excecionais, devidamente justificados, serão autorizados grupos com um número diferente de elementos. - Classificações finais iguais ou superiores a 19 valores podem estar sujeitas a uma defesa de nota. - Os professores responsáveis reservam-se o direito de fazer orais sempre que considerem necessário.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Stewart, J. "Cálculo - Volume 2", Tradução da 8ª edição norte-americana (4ª edição brasileira), Cenage Learning, 2017.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-30