Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

-

Objetivos Gerais / Objectives

No final deste curso o estudante deverá ter adquirido as noções, resultados e técnicas inerentes à Álgebra Linear, com especial ênfase nos espaços vetoriais e funções lineares, estabelecendo relações entre eles, com os sistemas de equações lineares, as matrizes e os determinantes.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da UC o aluno deverá ser capaz de: OA1. Conhecer a estrutura de espaço vetorial IR^n e os conceitos de subespaço vetorial, dependência linear de vetores, base e dimensão. OA2. Aplicar o método de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormada. OA3. Resolver e classificar sistemas de equações lineares. OA4. Conhecer a noção de matriz e dominar a álgebra matricial. OA5. Calcular, interpretar e aplicar determinantes de matrizes quadradas. OA6. Identificar funções lineares (e matrizes de funções lineares) entre espaços vetorias. OA7. Calcular e interpretar valores e vetores próprios. Diagonalizar matrizes. Determinar potências inteiras de matrizes diagonalizávies. OA8. Aplicar a decomposição em valores singulares de uma matriz à compressão de imagem. OA9. Classificar formas quadráticas.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Vetores e Sistemas de equações lineares 1.1 O espaço vetorial R^n. 1.2 Produto interno e norma 1.3 Combinação e dependência linear. 1.4 Base e dimensão. 1.5 Coordenadas de um vetor. 1.6 Ortonormalização de Gram-Schmidt 1.7 Sistemas de equações lineares. 1.8 Método de eliminação de Gauss. Classificação. CP2. Matrizes 2.1 Matrizes elementares e de permutação 2.2 Álgebra de matrizes. 2.3 Transposição e inversão de matrizes. Propriedades. 2.4 Decomposição LU. CP3. Determinantes. Definição. Propriedades. CP4. Funções lineares 4.1Transformação linear e matriz de uma transformação linear 4.2 Núcleo e imagem de uma função. 4.3 Espaço nulo e espaço das colunas. Teorema da dimensão. 4.4 Mudança de base CP5. Valores e vetores próprios 5.1 Definição. Subespaços próprios. 5.2 Diagonalização 5.3 Formas quadráticas. 5.4 Decomposição em valores singulares aplicada à compressão de imagem.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

O OA1 é abordado no CP1, onde são introduzidos os conceitos fundamentais de espaços vetoriais. A ortonormalização de Gram-Schmidt (OA2) é detalhada no CP1. Os sistemas de equações lineares (OA3) são abordados no CP1 e no CP2. A álgebra matricial (OA4) é tratada no CP2. O cálculo de determinantes de matrizes quadradas (OA5) é abordado no CP3. O OA6,estudo de funções lineares, é coberto no CP4.Os valores e vetores próprios (OA7) e a diagonalização de matrizes são estudados no CP5. A aplicação da decomposição em valores singulares na compressão de imagem (OA8) e a classificação de formas quadráticas (OA9) são tratadas no CP5.

Avaliação / Assessment

Os alunos podem optar por uma das seguintes modalidades de avaliação: - Avaliação ao longo do semestre: - 6 mini-testes (25%): prova escrita realizada em aula, com a duração de 15 minutos; - Prova escrita (75%): prova escrita na 1a época do período de avaliação, com nota mínima de 8.0 valores. Os alunos em avaliação ao longo do semestre têm a classificação de zero valores nas fichas de avaliação não realizadas. Os alunos deverão realizar os mini-testes na turma em que estão inscritos. Para o cálculo da nota final nesta componente serão consideradas as 5 melhores notas obtidas nos 6 mini-testes. Para os alunos que escolham esta modalidade, o resultado final considerado é o melhor entre a avaliação ao longo do semestre e a avaliação por exame. - Avaliação por exame: realização de uma prova escrita (100%) na 1a ou 2a época do período de avaliação. A nota mínima de aprovação na unidade curricular é de 10 valores. Os professores responsáveis reservam-se o direito de fazer orais sempre que considerem necessário.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As metodologias de ensino e de aprendizagem (MEA) desta unidade curricular permitem que os estudantes adquiram tanto o conhecimento teórico como as competências práticas necessárias para alcançar os objetivos de aprendizagem estabelecidos. As aulas dividem-se em sessões teórico-práticas e práticas com programação em MATLAB. A MEA1 (exposição e discussão) permite aos alunos adquirir conhecimento teórico através de explicações detalhadas e debates sobre os temas estudados, facilitando a compreensão dos conceitos fundamentais. Esta metodologia é complementada pela MEA2 (Resolução de exercícios), que oferece aos estudantes a oportunidade de aplicar o conhecimento teórico em situações práticas, promovendo a resolução de problemas e a consolidação dos conceitos aprendidos. Além disso, a MEA3 (Trabalho autónomo) é crucial para o desenvolvimento da autonomia e responsabilidade dos alunos no seu processo de aprendizagem. Espera-se que os alunos dediquem de 4 a 6 horas semanais ao trabalho autónomo, que inclui a consulta da bibliografia indicada e a revisão da matéria, bem como a resolução de exercícios e problemas. Este tempo também é destinado à realização de experiências computacionais utilizando MATLAB, uma ferramenta essencial para a aplicação prática dos conceitos de álgebra linear. Este modelo pedagógico, que integra aulas expositivas, resolução de exercícios e trabalho autónomo com programação em MATLAB, assegura uma aprendizagem ativa e contextualizada, preparando os alunos para enfrentar desafios reais e complexos no campo da matemática aplicada e da engenharia.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino-aprendizagem (MEA) desta unidade curricular estão desenhadas para atingir os objetivos de aprendizagem (OA) estabelecidos. A MEA1 (Exposição e discussão) é fundamental para alcançar os OA1 a OA9, uma vez que permite aos alunos compreender a teoria por trás dos conceitos e métodos apresentados nos conteúdos programáticos. Durante as aulas teórico-práticas, os conceitos fundamentais, são explicados e debatidos, garantindo uma compreensão sólida e profunda. A discussão em aula promove um ambiente de aprendizagem ativa, onde os alunos podem clarificar dúvidas e aprofundar o seu conhecimento, essencial para a assimilação dos temas abordados. A MEA2 (Resolução de exercícios) e a MEA3 (Trabalho autónomo) complementam a exposição teórica, garantindo que os alunos não só compreendem a teoria, mas também são capazes de aplicá-la em situações práticas. Durante as aulas, os alunos são incentivados a resolver exercícios em conjunto com o professor, aplicando os conhecimentos adquiridos para resolver problemas relacionados com os OA1 a OA9. A programação em MATLAB é integrada nas aulas, permitindo aos alunos explorar os conteúdos programáticos de forma interativa e prática. Para solidificar os conteúdos aprendidos em aula, é essencial que os alunos dediquem de 4 a 6 horas semanais ao trabalho autónomo. Este tempo deve ser utilizado para a revisão da matéria, consulta da bibliografia recomendada, resolução adicional de exercícios e realização de experiências computacionais em MATLAB, assegurando uma aprendizagem contínua e profunda que abrange todos os objetivos de aprendizagem da unidade curricular.

Observações / Observations

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Apoio teórico fornecido pelos docentes. Caderno de exercícios fornecido pelos docentes. Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (sixth edition) Wellesley-Cambridge Press. Blyth, T.S., & Robertson, E. F. (2009) Basic Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Burden, R. L., & Faires, J. D. (2015) Numerical analysis, Cengage Learning. Lay, D., Lay, S., & McDonald, J. (2016) Linear Algebra and Its Applications (fifth edition) Pearson.

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-23