Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Os alunos devem estar familiarizados com os conceitos centrais e técnicas básicas dos tópicos "Sucessões de números reais" e "Funções de variável real", como estudados no ensino secundário; nomeadamente no que respeita a limites, monotonia, continuidade e derivação de funções. Devem ainda ter experiência na manipulação de polinómios e conhecer as propriedades fundamentais das funções trigonométricas, da função exponencial e da função logaritmo.

Objetivos Gerais / Objectives

No final desta UC o aluno deverá ter adquirido os conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral a uma variável, essenciais à formulação e tratamento de problemas colocados em ciência e engenharia.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da UC o aluno deverá ser capaz de: OA1. Compreender e calcular derivadas e interpretar o resultado obtido. OA2. Compreender e determinar aproximações lineares e de ordem superior. OA3. Compreender e calcular explicitamente as primitivas de algumas funções elementares. OA4. Compreender e aplicar o teorema fundamental do cálculo diferencial e o teorema fundamental do cálculo integral. OA5. Compreender e calcular integrais e suas aplicações. OA6. Compreender e aplicar métodos numéricos para resolver equações não lineares e aplicados à derivação e integração. OA7. Compreender séries numéricas e representar funções em séries de potências.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

1) Cálculo Diferencial em R 1.1. Limites e continuidade 1.2. Diferenciabilidade 1.3. Fórmula de Taylor 1.4. Análise de erros 1.5. Métodos numéricos para resolução de equações a uma variável - métodos da bissecção e de Newton 1.6. Derivação numérica e optimização numérica 2 ) Cálculo Integral em R 2.1. Primitivas 2.2. Integrais 2.3. Teorema fundamental do cálculo integral 2.4. Aplicações geométricas 2.5. Integração numérica 3) Séries numéricas e séries de potências 3.1. Sucessões 3.2. Séries 3.3. Critérios de convergência 3.4. Séries de potências e aplicações

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

O conteúdo programático CP1 (limites, continuidade e diferenciabilidade) é essencial para os objetivos de aprendizagem OA1 e OA2. Inclui métodos numéricos para resolução de equações não lineares e derivação numérica, cruciais para o OA6. A fórmula de Taylor em CP1 é diretamente aplicável ao OA2, e o teorema fundamental do cálculo diferencial no CP1 suporta o OA4. No conteúdo programático CP2, a aprendizagem de primitivas, integrais e o teorema fundamental do cálculo integral estão associados aos OA3, OA4 e OA5. As aplicações geométricas e a integração numérica no CP2 estão associadas aos OA5 e OA6. O conteúdo programático CP3 foca-se nas séries numéricas e séries de potências, encontrando-se diretamente associado ao OA7. Esta estrutura integrada e progressiva dos conteúdos programáticos garante que os alunos alcancem os objetivos de aprendizagem de maneira coerente e eficaz, contribuindo para a compreensão e a aplicação dos conceitos essenciais da UC de cálculo I.

Avaliação / Assessment

Existem duas modalidades de avaliação: 1. Avaliação ao longo do semestre, composta por: - Dois Mini-Testes sobre MATLAB feitos em aula (5% + 5%) - Teste 1 (45%): prova escrita realizada durante o semestre com nota mínima de 7.5 valores - Teste 2 (45%): prova escrita realizada na 1ª época de avaliação com nota mínima de 7.5 valores. 2. Avaliação por exame: realização de um exame (com um peso de 100%), na 1ª época ou na 2ª época do período de avaliação. A nota mínima de aprovação na unidade curricular é de 10 valores. Os docentes reservam-se ao direito de fazer uma prova oral a um aluno de modo a comprovar os conhecimentos adquiridos.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As aulas são teórico-práticas, com um método de ensino expositivo acompanhado de exemplos ilustrativos, e resolução de exercícios, contando com um total de 54 horas de contacto . No entanto, os alunos são, sempre que possível, convidados a participar nas aulas teórico-práticas. As aulas teórico-práticas estão detalhadas na PUC, um documento orientador fundamental para ajudar o aluno na organização do seu trabalho autónomo. Tendo em conta os objetivos de aprendizagem OA1, OA3 e OA5, é fundamental adquirir uma grande prática na resolução de exercícios. Nele está descrito o programa aula a aula, bem como os materiais que deverá ler. Será introduzido progressivamente o MATLAB, com aplicações ao Cálculo e à análise numérica. A aplicação do MATLAB e de métodos numéricos permite resolver certos problemas cuja solução analítica não é possível de obter, dando cumprimento ao objetivo de aprendizagem OA6. Estão ainda previstos horários de atendimento semanais aos alunos de modo a poderem esclarecer dúvidas sobre a matéria.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As aulas teórico-práticas abrangem todos os objetivos conceptuais de aprendizagem, fundamentais para a compreensão dos diferentes conteúdos programáticos. As aulas práticas permitem testar e aplicar os conhecimentos adquiridos nas aulas teórico-práticas, mediante a resolução de exercícios, abrangendo assim os restantes objetivos de aprendizagem. Para solidificar os conteúdos aprendidos em aula, o aluno necessita de realizar trabalho autónomo, nomeadamente resolvendo exercícios e o tutorial de MATLAB. A avaliação inclui todos os objetivos de aprendizagem: os conceitos teóricos, a resolução prática e a utilização de MATLAB para resolver problemas através de análise numérica.

Observações / Observations

Regras da avaliação: 1. Um aluno é excluído do modo de avaliaçãoao longo do semestre, passando automaticamente para o modo de avaliação por examel, em qualquer uma das seguintes situações: - Faltar ou ter obtido nota inferior a 7.5 valores no Teste 1; - Ter estado envolvido numa tentativa de fraude na UC. 2. Os alunos repetentes dispõem das mesmas modalidades de avaliação, sujeitas às mesmas regras. 3. A nota mínima de aprovação é de 10 valores.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

K. Ross, Elementary Analysis. The theory of calculus, Springer, 2013. R. Burden, J. D. Faires, A. Burden, Numerical Analysis, Cengage Learning, 2015.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Sérgio Mendes, Apontamentos da UC, 2023. J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 2018. E. Herman, G. Strang, Calculus, Vols 1 e 2, OpenStax, 2017, 2018.

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-19