Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Cálculo diferencial e integral em R^n.

Objetivos Gerais / Objectives

A UC começa com uma breve noção de probabilidades e de apreensão dos conceitos básicos de probabilidades e variáveis aleatórias (v.a.’s) fundamentais para tratar a abordagem aos processos estocásticos, a tempo discreto e a tempo contínuo. Pretende-se que os estudantes fiquem capacitados para simular v.a.’s e alguns modelos estocásticos.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da UC o aluno deverá ser capaz de: OA1. Compreender a axiomática e os principais teoremas das probabilidades. OA2. Compreender e usar o conceito de variável aleatória. OA3. Conhecer as principais distribuições de probabilidade. OA4. Compreender e identificar processos estocásticos. OA5. Conhecer as principais leis das probabilidades. OA6. Gerar computacionalmente funções de distribuição e variáveis aleatórias. Obter soluções numéricas para problemas formulados estatisticamente.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1: Teoria de Probabilidade 1.1 Exp. aleatória, espaço de resultados, acontecimentos 1.2 Noção de probabilidade, interpretação de Laplace e frequencista. Axiomática de Kolmogorov 1.3 Probabilidade condicionada. Probabilidades compostas e total. T. de Bayes. Independência CP2: Variáveis aleatórias (v.a.’s) 2.1 V.a.’s uma dimensão. Funções probabilidade e de distribuição 2.2 V.a.’s multidimensionais. Distribuições conjuntas, marginais e condicionais. Covariância e correlação 2.3 Combinações lineares de v.a.’s CP3: Teoremas Centrais 3.1 Desigualdades de Markov e Chebyshev 3.2 Lei dos Grandes Números 3.3 Teorema Limite Central 3.4 Função geradora de momentos CP4: Processos estocásticos 4.1 Processos estocásticos discretos. Processos de contagem e de Poisson 4.2 Processos de Poisson combinados e repartidos 4.3 Processos estocásticos contínuos. Movimentos Browniano - com Drift e Geométrico 4.4 Cadeias de Markov a tempo discreto. Equações de Chapman-Kolmogorov 4.4 Aplicações e algoritmos

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

Os conteúdos programáticos (CP) estão em total acordo com os objetivos de aprendizagem (OA) definidos, evidenciado na sua relação direta. OA1 está alinhado com CP1, que abrange os fundamentos da teoria de probabilidade, proporcionando a base axiomática e os principais teoremas essenciais para a compreensão das probabilidades. OA2 e OA3 são atendidos por CP2, que aborda as variáveis aleatórias e suas distribuições de probabilidade, essenciais para a compreensão e aplicação desses conceitos. OA4 corresponde a CP4, que foca nos processos estocásticos, permitindo aos alunos identificar e compreender esses processos. OA5 é suportado por CP2, CP3 e CP4, que abrangem as leis das probabilidades, os teoremas centrais e os processos estocásticos, fornecendo uma visão abrangente das principais leis das probabilidades. OA6 é atendido por CP4, que inclui a geração computacional de funções de distribuição e variáveis aleatórias, bem como a obtenção de soluções numéricas para problemas estatísticos.

Avaliação / Assessment

A nota mínima de aprovação na unidade curricular é de 9.5 valores. Avaliação principal (AP): Modalidades de avaliação - Os alunos podem optar por uma das seguintes modalidades de avaliação: Avaliação ao longo do semestre, composta por: Teste intercalar (60%): teste escrito realizado, numa data a definir, durante o período das aulas; nota mínima de 8.0 valores. Frequência (40%): prova escrita realizada na 1ª época de avaliação; nota mínima de 8.0 valores. Avaliação por exame: realização de uma prova escrita (com um peso de 100%), na 1ª época ou na 2ª época do período de avaliação. Avaliação opcional (AO): Realização de um trabalho/estudo com cotação máxima de quatro (3.0) valores. - Em caso de aprovação na AP a nota final (NF) é calculada pela fórmula: NF = min{20, AP + AO} - Provas orais: Os alunos com a nota igual ou superior a 17 valores na NF que não realizaram a AO poderão ser chamados a prova oral. A nota à disciplina será igual ao max{17, NPO}, onde NPO (entre 17 e 20 valores) designa a nota da prova oral. Se não houver comparência nessa prova, a nota final será de 17 valores. Nota: Os alunos repetentes dispõem das mesmas modalidades de avaliação, sujeitas às mesmas regras.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As metodologias de ensino e aprendizagem (MEA) desta UC são projetadas para proporcionar uma compreensão prática e profunda dos conteúdos programáticos, promovendo o desenvolvimento de competências fundamentais. As aulas teórico-práticas combinam teoria e prática, assegurando a aplicação eficaz dos conceitos aprendidos. MEA1 - Exposição e discussão. As aulas começam com a exposição de conceitos teóricos fundamentais pelo docente, seguida de discussões onde os alunos participam ativamente, explorando os temas apresentados. Essa abordagem promove uma aprendizagem colaborativa e crítica. MEA2 - Resolução de exercícios. Após a apresentação da teoria, os alunos resolvem exercícios práticos, consolidando os conhecimentos adquiridos. Os exercícios variam em dificuldade e contexto, garantindo o desenvolvimento de competências práticas. O docente oferece orientação e feedback imediato, corrigindo erros e aprimorando a compreensão. MEA3 - Trabalho autónomo do aluno. Os alunos devem dedicar de 4 a 6 horas semanais ao estudo individual, revisando conteúdos, consultando a bibliografia recomendada e resolvendo exercícios adicionais. Esse trabalho autónomo aprofunda a compreensão, corrige lacunas no conhecimento e prepara os alunos para as avaliações, fomentando autonomia e responsabilidade. A combinação dessas metodologias visa proporcionar uma experiência de aprendizagem equilibrada e eficaz. A exposição teórica oferece a base de conhecimento necessária, a resolução de exercícios permite a aplicação prática, e o trabalho autónomo incentiva a independência e o aprofundamento dos estudos. A interação constante entre docente e alunos durante as discussões e a resolução de exercícios cria um ambiente de suporte e motivação, essencial para o sucesso académico. As metodologias adotadas nesta UC combinam teoria e prática, promovendo competências essenciais através de um equilíbrio entre exposição teórica, prática guiada e estudo autónomo.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino e aprendizagem (MEA) adotadas nesta unidade curricular (UC) são cuidadosamente pensadas para alcançar os objetivos estabelecidos. O principal objetivo é não só transmitir conhecimento teórico, mas também desenvolver competências práticas essenciais. A exposição e discussão de conceitos teóricos fundamentais seguida de debates participativos, está diretamente alinhada com a promoção da aprendizagem colaborativa e crítica. Esta abordagem não só permite aos alunos explorar ativamente os temas apresentados, como também fomenta a compreensão profunda através da discussão e análise crítica dos conteúdos. A resolução de exercícios práticos após a exposição teórica, complementa perfeitamente o processo de aprendizagem. Esta fase não só consolida os conhecimentos adquiridos, mas também desenvolve habilidades práticas mediante a aplicação dos conceitos aprendidos em diferentes contextos. O feedback imediato do docente durante esta fase é crucial para corrigir equívocos e fortalecer a compreensão dos alunos. Por fim, o trabalho autónomo do aluno, reservando um tempo significativo para estudo individual. Este período permite aos estudantes rever conteúdos, explorar bibliografia recomendada e resolver exercícios adicionais. Esta aprofunda a compreensão dos temas, preparando os alunos de forma mais completa para as avaliações. A combinação dessas metodologias é pretende alcançar um equilíbrio entre teoria e prática. A exposição teórica fornece a base de conhecimento essencial, enquanto a resolução de exercícios assegura a aplicação prática dos conceitos aprendidos. O trabalho autónomo não apenas consolida o entendimento, mas também promove habilidades de investigação e análise crítica. Assim, o processo de ensino e aprendizagem incentiva os alunos a envolverem-se ativamente na construção do conhecimento. Além disso, a coerência das metodologias com os objetivos de aprendizagem da UC é evidente na ênfase dada ao desenvolvimento de competências fundamentais. A interação constante entre docente e alunos durante as discussões e a resolução de exercícios cria um ambiente de suporte e motivação que é crucial para o sucesso académico dos estudantes. Este modelo educacional não apenas visa a preparação para avaliações formais, mas também proporciona uma base sólida para a aplicação prática dos conhecimentos adquiridos no contexto profissional futuro.

Observações / Observations

A consulta dos testes será feita apenas nas datas indicadas pelos docentes. Na consulta dos testes pode haver, pontualmente, alteração da classificação atribuída podendo essa alteração traduzir-se, tanto numa subida da nota como uma descida da nota.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Ross, S. M. Introduction to Probability and Models 11th edition, Academic Press, 2014. Morais M.C., Probabilidades e Estatística, Teoria, Exemplos e Exercícios, IST Press, 2020. Material pedagógico que aparecerá regularmente no elearning.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Durrett, R.G., Essentials of Stochastic Processes (3rd ed.), Springer, 2016. Krishnan, V., Probability and Random Processes, Wiley, 2015. Montgomery, D. Runger, G.C., Applied Statistics and Probability for Engineers. Wiley& Sons, 2003.

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-24