Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

460 - Matemática e estatística

Departamento / Department

Departamento de Tecnologias Digitais

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

É recomendado que o aluno esteja familiarizado com os conteúdos programáticos de álgebra linear e que tenha capacidades de programação básica em Phyton.

Objetivos Gerais / Objectives

Nesta UC são formalizados alguns dos conceitos introduzidos de forma simplificada e intuitiva na UC de Álgebra Linear e Aplicações (ALA) e são abordadas várias decomposições matriciais. As decomposições matriciais são desenvolvidas como a base teórica para que o aluno possa entender e aplicar os métodos numéricos de aproximação abordados na UC com apoio computacional. Os elementos em estudo levam a um domínio aprofundado da álgebra linear e à compreensão das estruturas básicas que surgem na formulação dos problemas de outras UCs e que surgem em áreas de aplicação. A exploração e ilustração dos tópicos com Python é facilitadora de uma aprendizagem robusta dos conteúdos.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1. Aprofundar os conceitos de espaço vetorial e de subespaço vetorial; OA2. Compreender o conceito de ortogonalidade e aplicar métodos de ortogonalização; OA3. Aprofundar e aplicar o conhecimento de valores e vetores próprios; OA4. Classificar formas quadráticas e aplicar na resolução de problemas; OA5. Compreender as aplicações apresentadas dos conceitos abordados; OA6. Aplicar métodos iterativos para aproximar a solução de sistemas de equações lineares (sistemas lineares); OA7. Compreender como as decomposições matriciais facilitam as abordagens algébricas e a aplicação eficiente da teoria em abordagens computacionais; OA8. Construir algoritmos computacionais.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1 Espaços vetoriais euclidianos. Ortogonalidade. Projeções. Base ortogonal. Normas matriciais. CP2 Ortogonalização de Gram-Schmidt. CP3 Matrizes complexas. Valores e vetores próprios de skew-Hermiteanas. Decomposição. de Schur. Teorema espetral. CP4 Formas lineares e bilineares. Formas quadráticas. Teorema de Sylvester. Identificação de cónicas CP5 Aritmética finita. Erro de arredondamento. Armazenamento. CP6 Métodos diretos e indiretos para sistemas lineares. CP7 Consistência, convergência e estabilidade dos métodos numéricos estudados.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

A coerência entre os CPs e os OAs na UC é evidente e deliberadamente estruturada para garantir que os alunos alcancem uma compreensão profunda dos temas abordados. CP1 estabelece as fundações essenciais para OA1 e 2. CP2, reforça as competências de OA2 em termos práticos. CP3 alinha-se com OA3, enquanto CP4 é essencial para o entendimento e aplicação em problemas específicos conforme o OA4. CP5 é crucial para a aplicação prática dos métodos numéricos e para a compreensão dos desafios computacionais, relacionando-se com OA5 a 7. Em CP6, são explorados métodos que são a base para OA6. CP7 explora conceitos fundamentais para OA7 e 8 e para a construção de algoritmos computacionais robustos. Cada CP foi cuidadosamente planeado sobre o conhecimento anterior e preparar os alunos para abordagens computacionais e teóricas avançadas, em linha com as metas de aprendizagem da UC e com a metodologia de ensino baseada em python para uma experiência de aprendizagem prática e integrada.

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores (escala 1-20) numa das modalidades seguintes: - Avaliação ao Longo do Semestre: * 2 trabalhos práticos em Python (20% cada) com nota mínima de 7 valores. * Teste 1 durante o semestre (30%) com nota mínima de 7 valores. * Teste 2 na data do primeiro exame (30%) com nota mínima de 7 valores. ou - Avaliação por Exame (100%). Há a possibilidade de realização de orais. É exigida uma assiduidade mínima não inferior a 2/3 das aulas.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Serão aplicadas as metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs) seguintes: MEA1. Expositivas, com apresentação e discussão dos quadros teóricos de referência MEA2. Participativas, com interpretação e resolução de exercício prático e problema de aplicação MEA3. Ativas, com realização de trabalho de grupo MEA4. Experimentais, com exploração computacional de conteúdos programáticos, em laboratório MEA5. Autoestudo, com atividades de trabalho autónomo a realizar pelo aluno, conforme o Plano de Aulas.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs) escolhidas para a unidade curricular (UC) de Álgebra Linear Numérica estão diretamente alinhadas com os objetivos de aprendizagem (OAs), promovendo um ambiente educacional que facilita o alcance de uma compreensão teórica e prática dos conceitos. MEA1, com seu formato expositivo, é essencial para estabelecer uma base teórica sólida, permitindo aos alunos compreender quadros teóricos de referência, correspondendo aos OAs que exigem uma compreensão conceitual profunda (OA1, OA3, OA4). Através da apresentação e discussão em sala de aula, os alunos desenvolvem um entendimento crítico dos fundamentos teóricos. MEA envolve os alunos na interpretação e resolução de exercícios práticos, relacionando-se diretamente com OAs que requerem a aplicação de conhecimentos em cenários práticos (OA2, OA5, OA6). Esta abordagem participativa também incentiva o pensamento crítico e a aplicação de teoria à prática. MEA3 enfatiza o trabalho em grupo, uma abordagem ativa que promove habilidades colaborativas e de comunicação, refletindo o foco do OA7 na compreensão e aplicação de decomposições matriciais em situações colaborativas e interdisciplinares. MEA4, com atividades experimentais em laboratório, permite que os alunos explorem os conteúdos programáticos usando ferramentas computacionais, cumprindo o OA8 ao construir e testar algoritmos computacionais, e também ao aplicar abordagens numéricas práticas (OA6). MEA5 é crucial para o aprofundamento individual e a reflexão sobre os conteúdos, contribuindo para o desenvolvimento da autonomia intelectual dos alunos e consolidando o conhecimento adquirido em todos os OAs. A avaliação, integrando trabalhos práticos em python e testes ao longo do semestre, é projetada para avaliar a compreensão e aplicação do conhecimento de forma contínua (OA5, OA6). A exigência de uma nota mínima assegura o domínio dos conceitos fundamentais antes de avançar. A possibilidade de orais reforça a capacidade de argumentação e defesa do conhecimento adquirido, particularmente para notas altas. Portanto, a coerência entre MEAs e a avaliação com os OAs é evidente, com as metodologias de ensino apoiando o desenvolvimento das competências desejadas e a avaliação confirmando a aquisição dessas competências, preparando os alunos para aplicações avançadas da álgebra linear numérica.

Observações / Observations

As aulas são teórico-práticas (TP=18h) e laboratoriais (PL=18h) com programação em Python de exploração de conteúdos programáticos e elaboração de algoritmos. É aconselhado o número mínimo de 5 horas semanais em trabalho autónomo (MEA5) para consulta da bibliografia indicada, resolução de exercícios e problemas, exploração computacional em Python e revisão de conteúdos programáticos. Para fazer face ao número de horas de contacto, a metodologia de ensino-aprendizagem adotada inclui ferramentas e estratégias inovadoras de apoio à lecionação e ao trabalho autónomo do aluno. É obtida uma formação melhor consolidada nos CPs da UC ao ser acautelado um número de horas de trabalho autónomo por parte do aluno, respeitando o ritmo da sua aprendizagem. São disponibilizados, pela equipa docente, materiais científico-pedagógicos (slides, notas de desenvolvimento, código e pseudo código, fichas de exercícios e problemas).

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Ford W. (2015). Numerical Linear Algebra with Applications - using MATLAB. Elsevier Burden R., Douglas Faires J. (2005). Numerical Analysis. Brooks/Cole Cengage Learning Gupta R.K. (2019). Numerical Methods: Fundamentals and Applications. Cambridge University Press. Kong Q., Siauw T., Bayen A.M. (2021). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists, Elsevier Inc.. Lay, D.C. (2015). Linear Algebra and its Applications. Addison Wesley. Pearson. Blyth T.S., Robertson E.F. (2002). Further Linear Algebra. Springer. Deisenroth M.P., Faisal A.A., Soon Ong C. (2020). Mathematics for Machine Learning. Cambridge University Press [electronic resource: https://mml-book.github.io/book/mml-book.pdf] Rossun G. (2018). Python Tutorial Release 3.7.0. Python Software Foundation.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Lima E.L. (2015). Geometria Analítica e Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária, IMPA. Cabral I., Perdigão C., Saiago C. (2018). Álgebra Linear Teoria, Exercícios Resolvidos e Exercícios Propostos com Soluções (5ª edição). Escolar Editora. Anton H., Rorres C. (2010). Elementary Linear Algebra - Applications Version. John Wiley and Sons. Hanselman, D., Littlefield, B. and MathWorks Inc. (1997). The Student Edition of MATLAB, 5th Version, Prentice-Hall

Data da última atualização / Last Update Date

2025-01-31