Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

460 - Matemática e estatística

Departamento / Department

Departamento de Tecnologias Digitais

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

É recomendado que o aluno esteja familiarizado com os conteúdos programáticos de álgebra linear e de cálculo diferencial e integral (essencialmente cálculo a uma variável), e que tenha capacidades de programação básica em Python.

Objetivos Gerais / Objectives

O objetivo desta UC consiste em aprender e aprofundar as metodologias de resolução por aproximação numérica de problemas não-lineares quando não é possível determinar uma solução analítica ou quando se trata de um problema de larga escala. O foco principal assenta sobre as equações com diferenças, equações diferenciais ordinárias, otimização numérica e a sua aplicação em vários problemas da vida real, desde economia, gestão de informação, saúde até à ciência de dados. Dado que a aprendizagem da otimização é fundamental neste curso, é importante que possa ser abordada em diferentes níveis de aprofundamento e em diversos contextos.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

São objetivos de aprendizagem (OAs) desta UC: OA1. Perceber a relevância e desafios existentes no domínio de resolução analítica e numérica de modelos não-lineares; OA2. Identificar as principais metodologias para resolução de modelos não-lineares estáticos; OA3. Identificar as principais metodologias para resolução de modelos lineares e não-lineares dinâmicos; OA4. Aprender a usar métodos de aproximação numérica para resolução de modelos não-lineares, quando não existe uma solução analítica; OA5. Compreender porque é necessário recorrer a aproximação numérica e quais são as consequências de uma aproximação inexata; OA6. Reconhecer a importância dos métodos de aproximação numérica para a determinação de uma solução de um problema não-linear e a variedade das suas aplicações em problemas reais. OA7. Comunicar os resultados da computação numérica, com explicações adequadas e claras apoiadas em suporte gráfico.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Introdução aos métodos numéricos com Python CP2. Convergência e estabilidade. Erro e perda de significado da aproximação numérica CP3. Derivação numérica. Solução analítica de equações diferenciais ordinárias (EDO) de ordem 1 e 2. Solução numérica de EDO de ordem 1 (método de Runge-Kutta); existência e unicidade de soluções CP4. Parametrização de superfície e cálculo de integrais de superfície. Coordenadas esféricas. Integração numérica: fórmulas de Newton-Cotes e quadratura de Gauss-Legendre para diferente nº de pontos; interpretação gráfica da quadratura; erro de integração CP5. Zeros de uma função e procura de extremos de funções (com e sem diferenciabilidade, com e sem continuidade); métodos da bissecção e de Newton, método da secante. Introdução à solução de sistemas não-lineares (método de Newton para sistemas) CP6. Equações com diferenças e métodos iterativos CP7. Solução de EDO de ordem superior (aproximações de diferenças finitas de Euler)

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

O programa da UC está estruturado para desenvolver competências específicas alinhadas com os objetivos de aprendizagem (OA), existindo a seguinte associação de cada CP com um ou mais dos OA: CP1: OA6 CP2: OA1, de OA5 a OA7 CP3: OA1, de OA4 a OA7 CP4: OA1, OA4, OA6, OA7 CP5: de OA1 a OA3, OA6, OA7 CP6: OA2, OA6, OA7 CP7: de OA1 a OA3, OA6, CP7 Os CP estão estruturados com uma base teórica e científica, que permite alcançar e garantir conhecimento base dos atuais métodos numéricos para a determinação de uma solução aproximada de modelos não-lineares ou de larga escala. Isto irá permitir aos alunos compreender e dar resposta por forma a apresentarem soluções quando os métodos analíticos falham. Esta UC será um primeiro passo para os fundamentos de modelação e aproximação numérica que podem ser usadas em outras UC, aplicações e projetos. Desta forma, há um pleno alinhamento dos CP com os OA.

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores (escala 0-20) numa das modalidades seguintes: - Avaliação ao Longo do Semestre: 1 teste intercalar (25%) + exercícios de trabalho autónomo (TA) submetidos no Moodle (5%) + 1 projeto com Python em trabalho de grupo (20%) + teste final individual escrito (50%). É exigida a nota mínima de 7,5 valores (escala 0-20) em cada um dos testes, intercalar e final. É exigida uma assiduidade mínima de 2/3 das aulas. Pode existir prova oral sempre que tal possa esclarecer o docente acerca da classificação obtida pelo estudante. - Avaliação por exame (100%), em qualquer das épocas, com prova escrita individual.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Serão aplicadas as metodologias de ensino-aprendizagem (MEA) seguintes: MEA1. Expositivas, com apresentação e discussão dos quadros teóricos de referência MEA2. Participativas, com interpretação e resolução de exercício prático e problema de aplicação MEA3. Activas, com realização de trabalho de grupo MEA4. Experimentais, com exploração computacional de conteúdos programáticos, em laboratório MEA5. Auto-estudo, com atividades de trabalho autónomo (TA) a realizar pelo estudante, conforme o Plano de Aulas.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

Todos os objetivos de aprendizagem (OA) estão diretamente ligados às cinco metodologias de ensino e aprendizagem (MEA): MEA1 e MEA2: Nas aulas expositivas, a apresentação da teoria permite aos estudantes adquirir uma base sólida em conceitos fundamentais de Álgebra Linear e de Geometria Analítica. A exposição, seguida da análise de exemplos práticos, facilita a compreensão das propriedades e aplicações dos conceitos, promovendo o desenvolvimento do raciocínio lógico e abstrato. MEA3: O trabalho em grupo estimula a colaboração entre os estudantes, promovendo a resolução de problemas de forma coletiva. A interação durante a resolução de exercícios práticos oferece a oportunidade de discutir diferentes abordagens, esclarecer dúvidas e fortalecer a compreensão dos conceitos. MEA4: A utilização de metodologias experimentais e laboratoriais possibilita aos estudantes a resolução de exemplos mais complexos, que seriam impraticáveis sem o auxílio de ferramentas computacionais. Esta abordagem enriquece a compreensão dos conteúdos através da aplicação em cenários mais avançados e realistas. MEA5: O auto-estudo (ou trabalho autónomo) é fundamental para que os estudantes consolidem os conteúdos teóricos e práticos abordados em aula. Permite ainda explorar mais profundamente os tópicos da UC, identificar lacunas no conhecimento e reforçar a capacidade de resolver problemas matemáticos de forma independente e eficaz. Através do Plano de Unidade Curricular (PUC), elaborado em cada ano letivo, são estabelecidos os conteúdos programáticos para cada aula; no PUC são também pormenorizadas as estratégias metodológicas de ensino-aprendizagem escolhidas para atingir os OA associados a cada CP. É usada a metodologia problem-based learning (PBL) como forma de desenvolver capacidades intelectuais que são fundamentais a uma sólida formação profissional em tomada de decisão e trabalho colaborativo. A resolução de problemas e outras atividades de aplicação dos conteúdos são, sempre que possível, contextualizadas em temas da transformação digital, o que potencia a aquisição de competências práticas. Para fazer face ao número de horas de contacto, a metodologia de ensino-aprendizagem adoptada inclui ferramentas e estratégias inovadoras de apoio à lecionação e ao trabalho autónomo do aluno.

Observações / Observations

É necessário que o estudante consulte o Código de Conduta Académica desde o início do semestre. As aulas são maioritariamente teórico-práticas (TP) e com exploração de algoritmos. É aconselhado o número mínimo de 6 a 7 horas semanais em trabalho autónomo (MEA5) para consulta da bibliografia indicada, resolução de exercícios e de problemas, exploração computacional em Python e revisão de conteúdos. É obtida uma melhor consolidação dos CP da UC ao ser acautelado um número de horas de trabalho autónomo (TA) por parte do estudante, respeitando o ritmo da sua aprendizagem. Caso considere necessário, a equipa docente poderá desenvolver um esquema de acompanhamento regular ao TA; esse esquema baseia-se num diagnóstico inicial que potencie a eficácia do TA, e que o mesmo possa ser ajustado às necessidades individuais detetadas (métodos de estudo inexistentes ou inadequados e/ou ausência de certos conhecimentos e capacidades importantes como pré-requisito). A componente trabalhos práticos em Python, com caráter obrigatório na avaliação, permite uma consolidação de conhecimentos e aquisição de capacidades conforme os OA traçados para a UC. São disponibilizados, pela equipa docente, materiais científico-pedagógicos (slides, notas de desenvolvimento, código e pseudo código, fichas de exercícios e problemas).

Bibliografia Principal / Main Bibliography

[1] Kong Q., Siauw T., Bayen A.M. (2021). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists. Elsevier Inc.. [2] Gupta R.K. (2019). Numerical Methods: Fundamentals and Applications. Cambridge University Press. [3] Allen, M.B., Isaacson, E.L. (2019). Numerical analysis for applied science. John Wiley & Sons, Inc.. [4] Rossun G. (2018). Python Tutorial Release 3.7.0. Python Software Foundation. [5] Christian C. (2017). Differential Equations: A Primer for Scientists and Engineers, Second Edition. Springer International Publishing.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Cohen H. (2011). Numerical Approximation Methods. Springer New York.

Data da última atualização / Last Update Date

2025-01-31