Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

460 - Matemática e estatística

Departamento / Department

Departamento de Tecnologias Digitais

Ano letivo / Execution Year

2023/2024

Pré-requisitos / Pre-Requisites

É recomendado que o aluno esteja familiarizado com o cálculo diferencial e integral a uma variável real e com os conteúdos elementares de álgebra linear.

Objetivos Gerais / Objectives

Pretende-se fornecer os conhecimentos de cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis reais. As capacidades a desenvolver incluem raciocínio lógico e clareza de linguagem científica. Por serem indispensáveis à compreensão de processos reais, pretende-se ampliar os conhecimentos através de abordagens intuitivas de tipos numérico e gráfico. Pretende-se que o aluno tire vantagem do papel dos computadores na matemática, ciência em geral e engenharia, como complemento às abordagens analíticas e experimentais.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1 Apreender a generalização de limite, continuidade e diferenciabilidade em funções multivariável OA2 Calcular derivadas parciais e segundo qualquer vetor não-nulo OA3 Interpretar o vetor gradiente como direcção de máximo crescimento da função OA4 Decidir sobre a existência de plano tangente OA5 Obter o desenvolvimento de Taylor em várias ordens explorar numericamente OA6 Aprofundar os conhecimentos em sucessões e séries com a abordagem das funções OA7 Aplicar as fórmulas de Taylor à determinação de extremos livres, nomeadamente com uso de valores próprios OA8 Escrever integrais duplos em diferentes ordens de integração e escolher uma delas para efectuar o cálculo OA9 Aprofundar o cálculo integral a uma variável com a abordagem de integrais de dimensão superior OA10 Aplicar os conteúdos da UC em problemas com contexto real OA11 Articular as diferentes abordagens dos conteúdos: gráfica, numérica e algébrica

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Topologia de Rn. Vizinhança e ponto de acumulação CP2. Função real e vetorial multivariável. Curva de nível e transformações ao gráfico. Limites direcionais e continuidade CP3. Derivadas parciais e vetor gradiente. Aproximação linear e diferenciabilidade. Regra da cadeia. Derivada direcional CP4. Aproximações de Taylor de ordem superior. Teor. da função implícita e da função inversa CP5. Matrizes Hessiana e aplicação a extremos livres. Condições de otimalidade. CP6 Equações diferenciais ordinárias exatas CP7. Integrais duplos e triplos. Teor. de Fubini. Mudança de coordenadas. Coordenadas polares e esféricas CP8. Campos de vetores e formas diferenciais. Relação entre formas e campos. Propriedades CP9. Curvas e superfícies parametrizadas. Vetores tangente e normal. Regularidade CP10. Integrais de linha e de superfície. Teoremas de Green, de Stokes e de Gauss. Campo conservativo CP11. Aplicações dos conceitos em problemas de contexto real

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

Os conteúdos programáticos (CPs) estão relacionados com cada um dos objetivos de aprendizagem (OAs) da seguinte forma: OA1 - CP2, CP3, CP4, CP5, CP11 OA2 - CP3, OA3 - CP3, CP5, OA4 - CP1, CP3, CP9 OA5 - CP4, , CP11 OA6 - CP1, CP2, CP4, CP7, CP11 OA7 - CP4, CP11 OA8 - CP7, CP11 OA9 - CP6, CP7, CP10, CP11 OA10 - de CP1 a CP11 OA11 - de CP1 a CP11

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores (escala 1-20) numa das modalidades seguintes: - Avaliação periódica: Teste 1 (15%) + Teste 2 (15%) + Trabalho prático em Python (15%) + 5 Mini-testes online (15%) + Teste Final/Frequência (40%); é exigida nota mínima de 7 valores (escala 1-20) na média dos Testes 1 e 2 e também no Teste Final - Avaliação por exame (100%), em qualquer das épocas, com prova escrita individual.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Serão utilizadas as seguintes metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs): MEA1. Expositivas, para apresentação dos quadros teóricos de referência MEA2. Participativas, com análise de algoritmos e metodologias MEA3. Ativas, com realização de trabalho de grupo MEA4. Experimentais, em laboratório de informática, realizando análises sobre casos/problemas reais MEA5. Autoestudo, relacionado com o trabalho autónomo (TA) do aluno, tal como consta no Plano de Unidade Curricular (PUC) das aulas.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs) visam atingir os objetivos de aprendizagem (OAs) conforme indicado de seguida: MEA1: de OA1 a OA11 MEA2: de OA1 a OA11 MEA3: de OA1 a OA11 MEA4: de OA1 a OA11 MEA5: de OA1 a OA11 Através do Plano de Unidade Curricular (PUC), elaborado em cada ano letivo, são estabelecidos os conteúdos programáticos para cada aula; no PUC são também pormenorizadas as estratégias metodológicas de ensino-aprendizagem escolhidas para atingir os OAs associados a esses CPs. Para fazer face ao número de horas de contacto, a metodologia de ensino-aprendizagem adotada inclui ferramentas e estratégias inovadoras de apoio à lecionação e ao trabalho autónomo do aluno. Também se enfatizou o apoio tutorial necessário.

Observações / Observations

As aulas são maioritariamente teórico-práticas (TP), existindo cerca de 2 aulas laboratoriais (PL) com programação em Python de exploração de conteúdos programáticos. É aconselhado o número mínimo de 6 a 7 horas semanais em trablho autónomo (MEA5) para consulta da bibliografia indicada, resolução de exercícios e problemas, exploração computacional e revisão de conteúdos programáticos. A componente de trabalho prático computacional, com caráter obrigatório na avaliação, permite uma consolidação de conhecimentos e aquisição de capacidades conforme os objetivos de aprendizagem traçados para a UC. É obtida uma melhor consolidação dos CPs da UC ao ser acautelado um número de horas de trabalho autónomo por parte do aluno, respeitando o ritmo da sua aprendizagem. Além disso, a equipa docente desenvolverá um esquema de acompanhamento regular a esse trabalho autónomo; esse esquema será baseado num diagnóstico inicial (através de um teste diagnóstico, por exemplo) que garante a sua eficácia, e será ajustado às necessidades individuais detetadas nos alunos (métodos de estudo inexistentes ou desadequados e ausência de certos conhecimentos e capacidades importantes como pré-requisito). São disponibilizados, pela equipa docente, materiais científico-pedagógicos (slides, notas de desenvolvimento, código e pseudo código, fichas de exercícios e problemas).

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Stewart, J. (2013). Cálculo. Vol II, 7ª Edição [tradução EZ2 Translate, São Paulo]. Cengage Learning [recurso eletrónico: https://profmcruz.files.wordpress.com/2019/03/calculo-james-stewart-7-edic3a7c3a3o-volume-2.pdf]. Lipsman, R.L., Rosenberg, J.M. (2018). Multivariable Calculus with MATLAB. Springer. Strang, G. (2007). Computational Science and Engineering, Wellesley-Cambridge Press . Kong Q., Siauw T., M. Bayen A.M. (2021). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists. Elsevier Inc.. Rossun G. (2018). Python Tutorial Release 3.7.0. Python Software Foundation.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Quarteroni A., Saleri F. (2007). Cálculo Científico com o MATLAB e o Octave. Springer. Lima E.L. (2000). Curso de Análise, Vol 2, (Projeto Euclides). IMPA.

Data da última atualização / Last Update Date

2024-02-16