Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

460 - Matemática e estatística

Departamento / Department

Departamento de Tecnologias Digitais

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

É conveniente que o aluno esteja familiarizado com o currículo de funções e de cálculo algébrico ministrado no ensino secundário.

Objetivos Gerais / Objectives

Pretende-se fornecer os conhecimentos de cálculo diferencial e integral numa só variável. As capacidades a desenvolver incluem raciocínio lógico e clareza de linguagem científica. Por serem indispensáveis à modelação de processos reais, pretende-se ampliar os conhecimentos através de abordagens intuitivas de tipos numérico e gráfico. É usada a metodologia problem-based learning (PBL) como forma de desenvolver capacidades intelectuais que são fundamentais a uma sólida formação profissional em tomada de decisão e trabalho colaborativo. As atividades de introdução e aplicação dos conhecimentos são contextualizadas no respectivo curso de forma a potenciar a aquisição de competências práticas. Pretende-se que o aluno tire vantagem do papel dos computadores na matemática, ciência em geral e engenharia, como complemento às abordagens analíticas e experimentais.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1 Entender a completude de R e suas consequências OA2 Apreender os conceitos de sucessão e de série (com vista às fórmulas de Taylor e somas de Riemann) OA3 Obter a função soma e domínio de convergência em séries de potências OA4 Aprofundar o conceito de função e a sua importância em modelação OA5 Aprofundar o conceito de limite e a caraterização de funções contínuas através de sucessões OA6 Analisar o comportamento assintótico de funções e a evolução de sucessões quanto a monotonia, limitação e convergência OA7 Obter aproximações de Taylor (várias ordens) e aplicá-las em problemas com contexto real OA8 Compreender a noção de partição e de integral como limite de somas de Riemann, e aplicar o teorema fundamental OA9 Aplicar os conceitos de derivada, sucessão, série e integral na resolução de problemas com contexto OA10 Articular diferentes abordagens dos conteúdos: gráfica, numérica e algébrica

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1 Reta real e álgebra em R. Completude. Valor absoluto CP2 Sucessões de números reais. Definição recursiva. Monotonia. Supremo e ínfimo. Convergência e enquadramento CP3 Noção de série numérica, somas parciais e soma. Séries aritmética, geométrica e harmónica CP4 Séries de potências. Convergência CP5 Funções de R em R. Funções elementares. Paridade e transformações ao gráfico. Período e frequências CP6 Composta e inversa. Comportamento assintótico CP7 Função logaritmo. Trigonométricas inversas. Identidades e álgebra trigonométrica CP8 Limites. Continuidade. Teoremas de Weierstrass e do valor intermédio CP9 Derivada num ponto e seu significado. Teorema do valor médio. Regra da cadeia e derivada da inversa. Derivação implícita CP10 Aproximações de Taylor. Extremos locais e/ou globais CP11 Partições. Primitivas. Integral definido à Riemann. Teorema fundamental do cálculo. Mudanças de variável. Integrais impróprios. Critérios de integrabilidade

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

- CP1, CP2 CP3 e CP4 fornecem a base matemática essencial para entender a completude de R (OA1) e introduzir os conceitos de sucessão (OA2 e OA3), fundamentais na análise matemática e em aplicações práticas, e ampliam a capacidade de modelagem matemática (OA4). - CP5 a CP7 exploram propriedades e comportamentos de funções, preparando os alunos para uma compreensão mais profunda de limites (OA5) e comportamento assintótico (OA6), aplicáveis em contextos reais. - CP8 e CP9 são fundamentais para a compreensão dos conceitos de continuidade e diferenciabilidade, cruciais para o uso de aproximações de Taylor (OA7) e para a compreensão do integral como limite de somas de Riemann (OA8). - CP10 e CP11 abordam técnicas de primitivação e integração, permitindo a aplicação prática do cálculo em situações reais (OA9) e a articulação entre abordagens gráfica, numérica e algébrica (OA10).

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores numa das modalidades seguintes: - Avaliação ao Longo do Semestre: * 9 trabalhos/minifichas realizados em aulas. Contam as 7 melhores, com um peso de 5% cada (total de 35%). * trabalho autónomo, com um peso de 5%. * frequência a realizar na data da 1.ª época, com peso de 60% e nota mínima de 8 valores ou - Avaliação por Exame (100%). Há a possibilidade de realização de orais. Notas superiores a 17 valores têm de ser defendidas em oral. É exigida uma assiduidade mínima não inferior a 2/3 das aulas.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Serão aplicadas as metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs) seguintes: MEA1. Expositivas, com apresentação e discussão dos quadros teóricos de referência MEA2. Participativas, com interpretação e resolução de exercício prático e problema de aplicação MEA3. Activas, com realização de trabalho de grupo MEA4. Experimentais, com exploração computacional de conteúdos programáticos, em laboratório MEA5. Auto-estudo, com atividades de trabalho autónomo a realizar pelo aluno, conforme o Plano de Aulas.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

Cada metodologia de ensino e aprendizagem (MEA) adotada está cuidadosamente alinhada com os OAs, assegurando que as práticas pedagógicas promovam efetivamente as competências que a UC se propõe a desenvolver. MEA1. As exposições teóricas são fundamentais para a aquisição dos conhecimentos básicos e para a compreensão dos conceitos matemáticos abstratos (OA1, OA2, OA3, OA4, OA5, OA6, OA8, OA10). Através da discussão dos quadros teóricos, os alunos aprimoram o raciocínio lógico e a linguagem científica, essenciais para a modelação e para a análise de problemas matemáticos. MEA2. A interpretação e resolução de exercícios práticos permitem aos alunos aplicar os conhecimentos teóricos em contextos concretos (OA7, OA9, OA10). Esta abordagem participativa incentiva a tomada de decisão e o trabalho colaborativo, destacando a relevância dos conceitos matemáticos na prática profissional. MEA3. O trabalho de grupo é uma faceta importante do problem-based learning (PBL), promovendo a capacidade dos alunos de trabalharem em equipa e de integrarem diferentes perspectivas na resolução de problemas (OA4, OA6, OA7, OA9). Esta metodologia é especialmente importante para desenvolver habilidades interpessoais e para enfrentar desafios de modelação. MEA4. As atividades experimentais em laboratório, utilizando ferramentas computacionais, são essenciais para os alunos entenderem o papel dos computadores na matemática (OA1, OA3, OA5, OA8). Estas sessões permitem explorar abordagens numéricas e gráficas dos conceitos programáticos, complementando a teoria e realçando a aplicabilidade dos métodos matemáticos. MEA5. O auto-estudo é crucial para a consolidação do conhecimento e para o desenvolvimento da autonomia intelectual (OA2, OA4, OA5, OA7, OA9, OA10). As atividades autónomas incentivam a reflexão e aprofundam a compreensão dos conteúdos, preparando os alunos para os desafios da aplicação prática do conhecimento. Em resumo, as MEAs selecionadas são coerentes com os OAs da UC, pois cada uma delas contribui para o desenvolvimento de competências específicas, desde a compreensão teórica até à aplicação prática e experimentação, fomentando um ambiente de aprendizagem dinâmico e interdisciplinar que prepara os alunos para os desafios profissionais futuros.

Observações / Observations

As aulas são maioritariamente teórico-práticas (TP), existindo cerca de 2 aulas laboratoriais (PL) com programação em Python de exploração de conteúdos programáticos. É aconselhado o número mínimo de 5 horas semanais em trablho autónomo (MEA5) para consulta da bibliografia indicada, resolução de exercícios e problemas, exploração computacional em Python e revisão de conteúdos.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Campos Ferreira J. (2024). Introdução à Análise Matemática (12.ª edição). Fundação Calouste Gulbenkian. Stewart J. (2013). Cálculo. Vol I, 7ª Edição [tradução EZ2 Translate, São Paulo]. Cengage Learning [recurso eletrónico: https://aedmoodle.ufpa.br/pluginfile.php/311602/mod_resource/content/1/Calculo%20-%20James%20Stewart%20-%207%20Edição%20-%20Volume%201.pdf] Strang, G. (2007). Computational Science and Engineering, Wellesley-Cambridge Press

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Lima E.L. (2001). Análise real. Vol 1. Coleção Matemática Universitária,SBM. Rio de Janeiro. Ávila G. (2006). Análise Matemática para a Licenciatura. Ed.Edgard Blucher. São Paulo.

Data da última atualização / Last Update Date

2024-09-11