Ficha Unidade Curricular (FUC)
Informação Geral / General Information
Carga Horária / Course Load
Área científica / Scientific area
460 - Matemática e estatística
Departamento / Department
Departamento de Tecnologias Digitais
Ano letivo / Execution Year
2025/2026
Pré-requisitos / Pre-Requisites
É conveniente que o aluno esteja familiarizado com o currículo de funções e de cálculo algébrico ministrado no ensino secundário.
Objetivos Gerais / Objectives
Pretende-se fornecer os conhecimentos de cálculo diferencial e integral numa só variável. As capacidades a desenvolver incluem raciocínio lógico e clareza de linguagem científica. Por serem indispensáveis à modelação de processos reais, pretende-se ampliar os conhecimentos através de abordagens intuitivas de tipos numérico e gráfico. É usada a metodologia problem-based learning (PBL) como forma de desenvolver capacidades intelectuais que são fundamentais a uma sólida formação profissional em tomada de decisão e trabalho colaborativo. As atividades de introdução e aplicação dos conhecimentos são contextualizadas no respectivo curso de forma a potenciar a aquisição de competências práticas. Pretende-se que o aluno tire vantagem do papel dos computadores na matemática, ciência em geral e engenharia, como complemento às abordagens analíticas e experimentais.
Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes
OA1 Entender a completude de R e suas consequências OA2 Apreender os conceitos de sucessão e de série (com vista às fórmulas de Taylor e somas de Riemann) OA3 Obter a função soma e domínio de convergência em séries de potências OA4 Aprofundar o conceito de função e a sua importância em modelação OA5 Aprofundar o conceito de limite e a caraterização de funções contínuas através de sucessões OA6 Analisar o comportamento assintótico de funções e a evolução de sucessões quanto a monotonia, limitação e convergência OA7 Obter aproximações de Taylor (várias ordens) e aplicá-las em problemas com contexto real OA8 Compreender a noção de partição e de integral como limite de somas de Riemann, e aplicar o teorema fundamental OA9 Aplicar os conceitos de derivada, sucessão, série e integral na resolução de problemas com contexto OA10 Articular diferentes abordagens dos conteúdos: gráfica, numérica e algébrica
Conteúdos Programáticos / Syllabus
CP1 Reta real e álgebra em R. Completude. Valor absoluto CP2 Sucessões de números reais. Definição recursiva. Monotonia. Supremo e ínfimo. Convergência e enquadramento CP3 Noção de série numérica, somas parciais e soma. Séries aritmética, geométrica e harmónica CP4 Séries de potências. Convergência CP5 Funções de R em R. Funções elementares. Paridade e transformações ao gráfico. Período e frequências CP6 Composta e inversa. Comportamento assintótico CP7 Função logaritmo. Trigonométricas inversas. Identidades e álgebra trigonométrica CP8 Limites. Continuidade. Teoremas de Weierstrass e do valor intermédio CP9 Derivada num ponto e seu significado. Teorema do valor médio. Regra da cadeia e derivada da inversa. Derivação implícita CP10 Aproximações de Taylor. Extremos locais e/ou globais CP11 Partições. Primitivas. Integral definido à Riemann. Teorema fundamental do cálculo. Mudanças de variável. Integrais impróprios. Critérios de integrabilidade
Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes
- CP1, CP2 CP3 e CP4 fornecem a base matemática essencial para entender a completude de R (OA1) e introduzir os conceitos de sucessão (OA2 e OA3), fundamentais na análise matemática e em aplicações práticas, e ampliam a capacidade de modelagem matemática (OA4). - CP5 a CP7 exploram propriedades e comportamentos de funções, preparando os alunos para uma compreensão mais profunda de limites (OA5) e comportamento assintótico (OA6), aplicáveis em contextos reais. - CP8 e CP9 são fundamentais para a compreensão dos conceitos de continuidade e diferenciabilidade, cruciais para o uso de aproximações de Taylor (OA7) e para a compreensão do integral como limite de somas de Riemann (OA8). - CP10 e CP11 abordam técnicas de primitivação e integração, permitindo a aplicação prática do cálculo em situações reais (OA9) e a articulação entre abordagens gráfica, numérica e algébrica (OA10).
Avaliação / Assessment
A avaliação está alinhada com as quatro componentes do modelo 4C/ID, juntando avaliações de rotinas (part-task practice), de tarefas integradoras (learning tasks), de projectos e de provas sumativas. Critérios Gerais: • Classificação mínima para aprovação: 10 valores (em 20) • Frequência mínima exigida: 2/3 das sessões presenciais • Defesa oral obrigatória para notas ≥17 valores • Modalidade de “Avaliação ao Longo do Semestre” (ALS) ou de “Exame” (100% exame) Avaliação ao longo do semestre: 1. Avaliação Formativa (40% do total) a) Part-Task Practice – Quizzes ou fóruns (5%) * Frequência: semanal, na plataforma online. * Feedback imediato e repetição livre até domínio. * Critério de sucesso: atingir nota ≥16 valores (em 20) em cada tarefa. b) Learning Tasks em Aula – Tarefas de Aprendizagem (30%) * Total de 9 tarefas (3 por cada um dos tópicos: séries, cálculo diferencial, cálculo integral), escolhendo-se as 7 melhores notas. * Tarefas realizadas em aula * Por tópico, pode haver a repetição de uma tarefa * Nota mínima para aceder à avaliação sumativa: 8 valores (em 20) * Cada tarefa avalia: - Precisão matemática - Capacidade de integração de conceitos (gráfica, numérica, algébrica) - Clareza de argumentação científica c) Diário de Reflexão e Trabalho Autónomo (5%) * Entradas quinzenais (2–3 parágrafos) sobre dificuldades e estratégias de resolução * Avalia: autorregulação e apropriação dos conteúdos 2. Projecto a pares – 10% a) Enunciado: Modelar um fenómeno real, integrando: * Séries de potências (OA3, OA7) * Derivadas e análise assintótica (OA6, OA9) * Integrais definidos/impróprias (OA8, OA9) b) Formato: relatório escrito (máx. 5 páginas) + demonstração computacional 3. Avaliação Sumativa (Teste Final) – 50% a) Formato Misto * Parte A: Questões de Part-Task Practice - Limites, derivadas e integrais básicas em exercícios curtos * Parte B: Learning Task Integrada - Problema contextualizado b) Nota mínima para aprovação no teste: 8 valores (em 20) Avaliação por exame: a) Exame Global (100% Exame) b) Nota mínima de aprovação: 10 valores (em 20) Defesa Oral: * Obrigatória para alunos com nota final ≥17 valores (em 20) * Duração: 15 minutos por aluno * Objetivo: comprovar o entendimento dos conceitos, o raciocínio e a capacidade de comunicação científica
Metodologias de Ensino / Teaching methodologies
Serão aplicadas as metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs) seguintes: MEA1. Sessão Presencial Integrada (3 h/semana) * 1 h 30 min de Learning Tasks em pares/grupos, com suporte gradual (alta→baixa assistência). * 45 min de mini-workshop de Supportive Information. * 30 min de tarefas de Procedural Information. MEA2. Prática de Subtarefas Online (≈1 h/semana) * Tarefas de conceitos a serem automatizados, com feedback imediato. MEA3. Aulas Laboratoriais (1 sessões × 2 h) *Exploração computacional: - Validação de aproximações por séries de Taylor. - Visualização de comportamentos assintóticos e integrais numéricas. - Comparação de soluções exatas e aproximadas. MEA4. Estudo Auónomo Orientado (≥5 h/semana) * Revisão da Informação de suporte dos conteúdos. * Prática de Procedural Information em fichas “just-in-time”. * Diário de bordo das Learning Tasks. * Prática extra na plataforma e exploração adicional da parte computacional.
Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes
Nas sessões presenciais (MEA1), os alunos dedicam 1 h 30 min à resolução colaborativa de tarefas que combinam conceitos trabalhados. Isso desenvolve as competências de compreensão de sucessões e séries (OA2, OA3), raciocínio lógico na caracterização de funções e análise assintótica (OA6), bem como a capacidade de articular abordagens gráfica, numérica e algébrica (OA10). Os mini-workshops de informação de suporte, com 45 min, reforçam as bases teóricas sobre completude de ℝ, continuidade e teoremas fundamentais (OA1, OA5, OA8), garantindo que todos partilhem um vocabulário e mapas mentais comuns antes de enfrentar as tarefas. As tarefas de 30 min de procedural information prepara os estudantes para aplicar algoritmos de teste de convergência e técnicas de derivação e integração de forma automatizada (OA5, OA6, OA8), libertando capacidade cognitiva para a resolução de problemas mais complexos. A prática de subtarefas online (MEA2) foca-se na automatização de rotinas algorítmicas—cálculo de limites, derivadas elementares e primitivas e integrais básicos—com feedback imediato. Este exercício sistemático assegura que os alunos atinjam fluência nas operações mínimas exigidas (OA5, OA6, OA8), condição necessária para participarem da avaliação sumativa e progredirem em tarefas de maior integração. A exigência de nota mínima em cada quiz online antes de aceder ao teste final cria um “gatekeeping” formativo: só quem domina essas operações básicas segue para a fase de avaliação final. Nos laboratórios de programação (MEA3), os estudantes validam analiticamente as expansões em série de Taylor (OA3, OA7), exploram graficamente o comportamento assintótico (OA6, OA9) e calculam integrais numéricos comparando-as com os integrais definidos exatos (OA8, OA9). Esta prática experimental aproxima o ensino da realidade profissional, reforçando a importância dos computadores na investigação matemática e desenvolvendo competências de modelação e comunicação científica (OA10). Por fim, o estudo autónomo orientado (MEA4) assegura consolidação e reflexão: leitura das fichas de suporte, prática adicional das fichas “just-in-time” e manutenção de um diário de bordo. Este componente fortalece a autonomia intelectual, a autorregulação e a capacidade de autoavaliação (OA2, OA4, OA5, OA7, OA9, OA10). A validação do diário como condição para o exame final reforça a importância do processo contínuo de aprendizagem. A avaliação reflete esta estrutura: as rubricas formativas das Learning Tasks aferem precisão, integração de abordagens e clareza do raciocínio (OA2–OA10); os quizzes online validam a operacionalização das subtarefas (OA5, OA6, OA8); e o teste final, composto por exercícios de rotina e por uma Learning Task integrada, sintetiza todas as competências (OA1–OA10). Dessa forma, cada MEA e cada instrumento de avaliação trabalham em conjunto para que o estudante atinja de modo sólido e mensurável todos os objetivos de aprendizagem da UC.
Observações / Observations
As atividades presenciais organizam-se numa única sessão semanal de 3 h estruturada em três componentes do 4C/ID: * Learning Tasks (1 h 30 min) – resolução colaborativa de problemas autênticos que integram séries, derivadas e integrais, com suporte gradual (scaffolding) progressivamente reduzido (fading). * Supportive Information (45 min) – mini-workshops de conceitos, teoremas e mapas conceptuais cruciais para a resolução das Learning Tasks. * Procedural Information (30 min) – oficinas “just-in-time” de algoritmos de teste de convergência, técnicas de derivação e de integração, fornecendo apenas o grau de detalhe necessário em cada fase. Recomenda-se um mínimo de 5 h semanais de trabalho autónomo (Self-Study), orientado pelo 4C/ID, integrando: * Leitura e estudo da Supportive Information (mapas, definições, teoremas). * Prática das Procedural Information em fichas “just-in-time” para consolidar rotinas algorítmicas. * Part-Task Practice online (quizzes de limites, derivadas e integrais) com feedback imediato. * Diário de bordo das Learning Tasks e preparação das próximas sessões. Vantagens do 4C/ID nesta UC: 1. Aprendizagem Autêntica e Integrada 2. Gestão Ótima da Carga Cognitiva 3. Desenvolvimento de Competências de Alto Nível 4. Automatização de Rotinas 5. Fomento da Autonomia Com esta estrutura, a UC assume um desenho pedagógico baseado no 4C/ID, maximizando a aquisição de conhecimentos, a motivação e o desenvolvimento de competências críticas para a modelação matemática e científica.
Bibliografia Principal / Main Bibliography
Campos Ferreira J. (2024). Introdução à Análise Matemática (12.ª edição). Fundação Calouste Gulbenkian. Stewart J. (2013). Cálculo. Vol I, 7ª Edição [tradução EZ2 Translate, São Paulo]. Cengage Learning [recurso eletrónico: https://aedmoodle.ufpa.br/pluginfile.php/311602/mod_resource/content/1/Calculo%20-%20James%20Stewart%20-%207%20Edição%20-%20Volume%201.pdf] Strang, G. (2007). Computational Science and Engineering, Wellesley-Cambridge Press
Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography
Lima E.L. (2001). Análise real. Vol 1. Coleção Matemática Universitária,SBM. Rio de Janeiro. Ávila G. (2006). Análise Matemática para a Licenciatura. Ed.Edgard Blucher. São Paulo.
Data da última atualização / Last Update Date
2025-09-24