Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

460 - Matemática e estatística

Departamento / Department

Departamento de Tecnologias Digitais

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

É conveniente que o aluno esteja familiarizado com os conteúdos programáticos da unidade curricular Matemática Aplicada.

Objetivos Gerais / Objectives

Pretende-se fornecer os conhecimentos em cálculo integral real e cálculo diferencial multivariável essenciais à abordagem de conteúdos em outras unidades curriculares. As capacidades a desenvolver incluem raciocínio lógico e abstracto e clareza de linguagem científica. Por serem indispensáveis à compreensão de processos reais, pretende-se ampliar os conhecimentos de séries e de funções com várias variáveis através de abordagens intuitivas de tipos numérico e gráfico. É usada a metodologia problem-based learning (PBL) como forma de desenvolver capacidades intelectuais que são fundamentais a uma sólida formação profissional em tomada de decisão e trabalho colaborativo. A resolução de problemas e outras atividades de aplicação dos conteúdos são contextualizadas em temas do curso de forma a potenciar a aquisição de competências práticas. É dada maior enfase à escolha de problemas na área da otimização.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1 Dominar os conceitos de sucessão e de série numérica OA2 Calcular limites de sucessões e, relativamente a uma série, averiguar a existência de soma OA3 Entender a generalização do conceito de série a séries de funções e obter o domínio de convergência OA4 Compreender a definição de integral como limite de somas de Riemann OA5 Calcular primitivas e aplicar ao cálculo de integrais OA6 Aplicar integrais no cálculo de áreas, de comprimentos e de valores médios OA7 Resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares de 1ª ordem OA8 Calcular derivadas parciais e segundo qualquer vetor não-nulo OA9 Interpretar o vetor gradiente como direcção de máximo crescimento da função OA10 Decidir sobre a existência de plano tangente OA11 Obter o desenvolvimento de Taylor de 1ª ordem e, explorar numericamente em ordem superior OA12 Determinar extremos livres (otimização)

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1 Sucessões. Monotonia. Majorantes e minorantes. Progressão geométrica. CP2 Sucessões enquadradas. Convergência. CP3 Séries numéricas, somas parciais e soma. CP4 Critérios de convergência de séries de termos não-negativos. CP5 Convergências simples e absoluta de séries alternadas. Critério de Leibniz. CP6 Séries de potências e domínio de convergência. CP7 Primitivas. Integral definido à Riemann. Teorema fundamental do cálculo e primitivas. CP8 Integração por partes e mudança de variável. Decomposição em frações simples. CP9 Aplicações do integral (área, comprimento, valor médio). CP10 Integrais impróprios e convergência. CP11 EDO de 1ª ordem linear. CP12 Funções reais multivariável. Curvas de nível. Limites e continuidade. CP13 Derivadas parciais num ponto e vetor gradiente. Aproximação linear, plano tangente e diferenciabilidade. CP14 Derivada direcional. Regra da cadeia. Polinómios e série de Taylor. CP15 Formas quadráticas em problemas de otimização.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

Os CPs da UC são estrategicamente projetados para atingir os OAs estabelecidos, garantindo uma progressão lógica e consistente no desenvolvimento das competências dos alunos. CP1 e 2 fornecem uma base sólida para OA1 e 2 e essencial para o entendimento subsequente de CP3 e 4, diretamente relacionados com OA3. Os critérios em CP5 apoiam a compreensão de convergência, crucial para OA2 e 3. CP6 aprofunda o estudo de OA3, enquanto CP7 e 8 focam em OA4 e 5, crucial para a aplicação em problemas reais (OA6), cobertos em CP9 e 10. O OA7 é explorado em CP11, e CP12 prepara para OA8 e 10. CP13 e 14 aprofundam na compreensão de conteúdos de OA9, OA10 e OA11, enquanto CP15 aborda temas OA12. A coesão entre CPs e OAs evidencia-se pelo foco na aplicabilidade prática e na capacidade de análise e abstração, preparando os alunos para abordar problemas matemáticos complexos através de diversas perspetivas, em linha com a metodologia PBL adotada pela UC.

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação >= 10 valores (de 0 a 20) numa das modalidades seguintes: - Avaliação ao Longo do Semestre: * 4 minifichas realizadas em aula, com um peso de 5% cada (20% no total) * teste a meio do semestre (15%) * trabalho autónomo (5%) * teste final (60%) na data do exame de 1.ª época, com nota mínima de 8 valores. ou - Avaliação por Exame (100%): Há a possibilidade de realização de orais. Notas superiores a 17 valores têm de ser defendidas em oral.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Serão utilizadas as seguintes metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs): MEA1. Expositivas, para apresentação dos quadros teóricos de referência MEA2. Participativas, com análise de algoritmos e metodologias MEA3. Ativas, com realização de trabalho de grupo MEA4. Experimentais, em laboratório de informática, realizando análises sobre casos/problemas reais MEA5. Autoestudo, relacionado com o trabalho autónomo (TA) do aluno, tal como consta no Planeamento das Aulas.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs) adotadas para a unidade curricular de complementos de matemática aplicada estão intrinsecamente ligadas aos objetivos de aprendizagem (OAs), criando um ambiente educacional que não só transmite conhecimento, mas também avalia e solidifica a compreensão do aluno de maneira eficaz. MEA1 assegura que os alunos estejam fundamentados nos conceitos teóricos essenciais (OA1-OA5), que são o alicerce para o entendimento de séries numéricas, cálculo integral e diferencial multivariável. Esta abordagem expositiva é crucial para a introdução e compreensão dos quadros teóricos que suportam a matéria da UC. MEA2 e MEA3 promovem a análise de algoritmos e a colaboração em trabalhos de grupo, respetivamente. Estas metodologias participativas e ativas são vitais para a assimilação de métodos de cálculo e resolução de problemas (OA2, OA5, OA6, OA7), incentivando o raciocínio lógico e a aplicação prática dos conhecimentos adquiridos. MEA4 permite aos alunos aplicar os conhecimentos teóricos em situações práticas por meio de experimentação em laboratório de informática, alinhando-se com OAs que relacionadas coma interpretação de casos reais (OA6, OA9, OA12). Esta experiência prática é fundamental para a compreensão de como as ferramentas matemáticas podem ser usadas na resolução de problemas complexos e na otimização. MEA5 enfatiza a importância do trabalho autónomo, que é essencial para aprofundar a compreensão e autonomia intelectual do aluno (OA3, OA8, OA10, OA11), permitindo que os alunos integrem e apliquem o conhecimento de maneira independente. A estrutura de avaliação foi desenhada para refletir estas metodologias e avaliar adequadamente os OAs. A Avaliação ao Longo do Semestre, composta por teste a meio do semestre e teste final, juntamente com o trabalho autónomo, permite uma avaliação contínua do progresso do aluno, garantindo que os conceitos sejam compreendidos e aplicados corretamente. A possibilidade de orais e a necessidade de defender notas superiores a 17 valores asseguram que os alunos não só alcançam um alto nível de compreensão, mas também são capazes de comunicar eficazmente o seu raciocínio e resultados. Desta forma, a coerência entre as MEAs e o sistema de avaliação com os OAs é clara, com as estratégias de ensino a apoiar o desenvolvimento das competências desejadas e a avaliação a verificar a aquisição dessas competências, preparando os alunos para futuras aplicações académicas e profissionais da matemática aplicada.

Observações / Observations

As aulas são maioritariamente teórico-práticas (TP), existindo cerca de 1 aula laboratorial (PL) com programação em Python de exploração de conteúdos programáticos. É aconselhado o número mínimo de 5 horas semanais em trabalho autónomo (MEA5) para consulta da bibliografia indicada, resolução de exercícios e problemas, exploração computacional e revisão de conteúdos.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

[1] Stewart, J. (2022). Cálculo, Vol I, Cengage Learning, (9ª Ed.) [2] Campos Ferreira, J. (2024). Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian (12ª Ed.) [3] Lipsman, R.L., Rosenberg, J.M. (2018) Multivariable Calculus with MATLAB, Springer [4] Hanselman, D., Littlefield, B. and MathWorks Inc. (1997) The Student Edition of MATLAB, 5th Version, Prentice-Hall

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-02-12