Ficha Unidade Curricular (FUC)
Informação Geral / General Information
Carga Horária / Course Load
Área científica / Scientific area
460 - Matemática e estatística
Departamento / Department
Departamento de Tecnologias Digitais
Ano letivo / Execution Year
2023/2024
Pré-requisitos / Pre-Requisites
É conveniente que o aluno esteja familiarizado com os conteúdos programáticos da unidade curricular Matemática Aplicada.
Objetivos Gerais / Objectives
Pretende-se fornecer os conhecimentos em cálculo integral real e cálculo diferencial multivariável essenciais à abordagem de conteúdos em outras unidades curriculares. As capacidades a desenvolver incluem raciocínio lógico e abstracto e clareza de linguagem científica. Por serem indispensáveis à compreensão de processos reais, pretende-se ampliar os conhecimentos de séries e de funções com várias variáveis através de abordagens intuitivas de tipos numérico e gráfico. É usada a metodologia problem-based learning (PBL) como forma de desenvolver capacidades intelectuais que são fundamentais a uma sólida formação profissional em tomada de decisão e trabalho colaborativo. A resolução de problemas e outras atividades de aplicação dos conteúdos são contextualizadas em temas do curso de forma a potenciar a aquisição de competências práticas. É dada maior enfase à escolha de problemas na área da otimização.
Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes
OA1 Dominar os conceitos de sucessão e de série numérica OA2 Calcular limites de sucessões e, relativamente a uma série, averiguar a existência de soma OA3 Entender a generalização do conceito de série a séries de funções e obter o domínio de convergência OA4 Compreender a definição de integral como limite de somas de Riemann OA5 Calcular primitivas e aplicar ao cálculo de integrais OA6 Aplicar integrais no cálculo de áreas, de comprimentos e de valores médios OA7 Resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares de 1ª ordem por separação de variáveis OA8 Calcular derivadas parciais e segundo qualquer vetor não-nulo OA9 Interpretar o vetor gradiente como direcção de máximo crescimento da função OA10 Decidir sobre a existência de plano tangente OA11 Obter o desenvolvimento de Taylor de 1ª ordem e, explorar numericamente em ordem superior OA12 Determinar extremos livres e condicionados (otimização) OA13 Articular as várias abordagens dos conteúdos, gráfica, numérica e algébrica
Conteúdos Programáticos / Syllabus
CP1 Sucessões. Monotonia. Majorantes e minorantes. Progressão geométrica. CP2 Sucessões enquadradas. Convergência. CP3 Séries numéricas, somas parciais e soma. CP4 Critérios de convergência de séries de termos não-negativos. CP5 Convergências simples e absoluta de séries alternadas. Critério de Leibniz. CP6 Séries de potências e domínio de convergência. CP7 Integral definido à Riemann. Teorema fundamental do cálculo e primitivas. CP8 Integração por partes e mudança de variável. Decomposição em frações simples. CP9 Aplicações do integral (área, comprimento, valor médio). CP10 Integrais impróprios e convergência. CP11 EDO de 1ª ordem linear. CP12 Funções reais multivariável. Curvas de nível. Limites e continuidade. CP13 Derivadas parciais num ponto e vetor gradiente. Aproximação linear, plano tangente e diferenciabilidade. CP14 Derivada direcional. Regra da cadeia. Polinómios e série de Taylor. CP15 Formas quadráticas em problemas de otimização.
Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes
Os conteúdos programáticos (CP) estão relacionados com cada um dos objetivos de aprendizagem (OA) da seguinte forma: OA1-CP1-CP2-CP3-CP4-CP5-CP6 OA2-CP2-CP3-CP4 OA3-CP6-CP14 Os conteúdos CP1 até CP6 estão organizados de forma sequencial em termos de estrutura e dificuldade para compreender os objetivos OA1 até OA6. OA4-CP7-CP9-CP10 OA5-CP7-CP8-CP9-CP10-CP11 OA6-CP7-CP9 OA7-CP9 O conteúdo CP7 é essencial para o objetivo OA4. Os conteúdos CP9 e CP10 complementam o CP7 para compreender o OA4. O conteúdo CP8 são os métodos de cálculo fundamental para o OA5. Os conteúdos CP9 até CP11 são conteúdos de aplicação dos objetivos OA4 a OA7. OA8-CP12-CP13-CP14-CP15 OA9-CP12-CP13-CP15 OA10-CP12-CP13 OA11-CP12-CP13-CP14 OA12-CP12-CP15 Os conteúdos focam vários tópicos presentes nos objetivos OA9 até OA12 abordando de forma sequencial os temas tratados. OA13-CP4-CP6-CP7-CP9-CP10-CP12-CP13-CP14-CP15 O objetivo OA13 culmina na relação de vários temas programáticos trabalhos ao longo da UC.
Avaliação / Assessment
Aprovação com classificação >= 10 valores numa das modalidades seguintes: - Avaliação periódica: Teste 1 (20%) + Teste 2 (20%) + trabalho prático em Python (10%) + trabalho autónomo (10%) + Teste Final (40%). A média dos testes 1 e 2, assim como a nota do teste final têm uma nota mínima de 7 valores (escala 1-20). Em caso de disparidade nas notas dos testes e teste final, há possibilidade de realização de orais. - Avaliação por Exame (100%), em qualquer uma das épocas.
Metodologias de Ensino / Teaching methodologies
Serão utilizadas as seguintes metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs): MEA1. Expositivas, para apresentação dos quadros teóricos de referência MEA2. Participativas, com análise de algoritmos e metodologias MEA3. Ativas, com realização de trabalho de grupo MEA4. Experimentais, em laboratório de informática, realizando análises sobre casos/problemas reais MEA5. Autoestudo, relacionado com o trabalho autónomo (TA) do aluno, tal como consta no Planeamento das Aulas.
Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes
Esta UC requer conceitos teóricos, fundamentais para a compreensão dos diferentes conteúdos programáticos. A experimentação prática e a aplicação de conhecimentos, incluindo trabalho autónomo por parte do estudante, são essenciais após a exposição teórica, pelo que as aulas teórico-práticas são as mais indicadas para todos os OA. As metodologias de ensino-aprendizagem (MEA) visam atingir os objetivos de aprendizagem (OA) conforme indicado de seguida: MEA1 - de OA1 a OA13 MEA2 - de OA1 a OA13 MEA3 - de OA1 a OA13 MEA4 - de OA1 a OA13 MEA5 - de OA1 a OA13
Observações / Observations
As aulas são maioritariamente teórico-práticas (TP), existindo cerca de 1 aula laboratorial (PL) com programação em Python de exploração de conteúdos programáticos. É aconselhado o número mínimo de 5 horas semanais em trabalho autónomo (MEA5) para consulta da bibliografia indicada, resolução de exercícios e problemas, exploração computacional e revisão de conteúdos.
Bibliografia Principal / Main Bibliography
[1] Stewart, J. (2013). Cálculo, Vol I, Cengage Learning, (7ª Ed.) [2] Campos Ferreira, J. (2018). Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian [3] Lipsman, R.L., Rosenberg, J.M. (2018) Multivariable Calculus with MATLAB, Springer [4] Hanselman, D., Littlefield, B. and MathWorks Inc. (1997) The Student Edition of MATLAB, 5th Version, Prentice-Hall
Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography
Data da última atualização / Last Update Date
2024-02-16