Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

480 - Informática

Departamento / Department

Departamento de Tecnologias Digitais

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

É recomendado que o aluno esteja familiarizado com os conteúdos programáticos de cálculo a uma e a múltiplas variáveis, álgebra linear, álgebra linear numérica e que tenha capacidades de programação básica em Phyton.

Objetivos Gerais / Objectives

A UC proporciona aos estudantes uma compreensão aprofundada dos fundamentos e aplicações da análise complexa, reforçando conceitos como ortogonalidade e produto interno através do estudo de funções ortogonais. Visa estender o conhecimento dos alunos para além das séries de potências, envolvendo-os no estudo de séries de harmónicas trigonométricas e exponenciais harmónicas, fundamentais para a resolução de equações diferenciais. Um foco particular é colocado na utilização da análise de Fourier para resolver problemas de valor inicial, e na aplicação prática da transformada de Fourier e suas propriedades, incluindo técnicas de convolução para solucionar equações diferenciais parciais complexas.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

São objetivos de aprendizagem (OAs) desta UC: OA1. Familiarizar-se com os conceitos e resultados em análise complexa OA2. Aprofundar o produto interno e o conceito de ortogonalidade com o estudo de funções ortogonais OA3. Aprofundar a noção de série de funções, nomeadamente passando das séries de potências para séries de harmónicas trigonométricas e exponenciais harmónicas OA4. Obter soluções de problemas de valor inicial com base na a análise de Fourier OA5. Aplicar a transformada de Fourier, essencialmente com base nas suas propriedades OA6. Obter as características de um sinal, tanto no domínio do tempo como no da frequência OA7. Aplicar Python na exploração dos conteúdos, análise de sinais e descrição da análise de dados experimentais ou simulados

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Polinómios e números complexos. Funções complexas elementares. Equação de Laplace. Séries de Laurent. Convergência pontual e uniforme. Fórmula de Euler CP2. Método das variáveis complexas para derivação numérica de funções reais. Fórmulas integrais de Cauchy CP3. Sinais discretos e contínuos. Periodicidade e função generalizada CP4. Ortogonalidade de funções. Série de Fourier: forma trigonométrica e exponencial complexa. Convergência CP5. Séries na solução de equações diferenciais (EDs). Separação de variáveis. Equação do calor. ED semi-linear. Equação da onda CP6. Transformada de Fourier. Convolução. ED parcial de Black-Scholes CP7. Diagramas (amplitude e fase) de sinais nos domínios do tempo e da frequência CP8. Métodos discretos de Fourier. Transformada discreta de Fourier: aliasing e o teorema da amostra CP9. Transformada rápida de Fourier (FFT) e métodos espectrais. Espectro de potência e teorema de Parseval CP10. Aplicações a amostras de dados experimentais e de simulação

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

Os conteúdos programáticos da UC de Matemática Computacional estão alinhados com os objetivos de aprendizagem estabelecidos, assegurando uma coerência que facilita a aquisição de competências pelos estudantes. CP1 e CP2 introduzem análise complexa, polinómios, e números complexos, correspondendo a OA1 e fornecendo a base teórica necessária. CP3 e CP4 abordam sinais e ortogonalidade de funções, em linha com OA2 e OA3, capacitando os alunos na análise e decomposição de sinais. CP5 até CP7 permitem atingir OA4 e OA5, através da aplicação direta da análise e transformada de Fourier na resolução de equações diferenciais e na caracterização de sinais. CP8 a CP10 ensinam métodos discretos de Fourier e suas aplicações práticas, apoiando OA6 e OA7, e incentivando a utilização de Python para análise de dados reais e simulados, garantindo assim uma formação prática e teórica integrada e aplicada.

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores (escala 1-20) numa das modalidades seguintes: - Avaliação ao Longo do Semestre: * 3 trabalhos práticos em grupo (20% cada) com nota mínima de 7 valores. * 2 Teste2 (20% cada) com nota mínima de 7 valores. ou - Avaliação por Exame (100%). Há a possibilidade de realização de orais.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Serão aplicadas as metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs) seguintes: MEA1. Expositivas, com apresentação e discussão dos quadros teóricos de referência MEA2. Participativas, com interpretação e resolução de exercício prático e problema de aplicação MEA3. Activas, com realização de trabalho de grupo MEA4. Experimentais, com exploração computacional de conteúdos programáticos, em laboratório MEA5. Auto-estudo, com atividades de trabalho autónomo a realizar pelo aluno, conforme o Plano de Aulas

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs) adotadas para a Unidade Curricular de Matemática Aplicada são cuidadosamente selecionadas para alinhar-se com os objetivos de aprendizagem (OAs), garantindo uma experiência educacional coesa e eficaz. MEA1, que se foca em aulas expositivas, é crucial para atingir OA1, visto que a apresentação e discussão dos quadros teóricos fornecem aos alunos o conhecimento fundamental necessário em análise complexa. Esta abordagem didática é essencial para a construção de uma base teórica sólida que será aplicada em contextos mais práticos. MEA2, que incentiva a participação ativa dos alunos através da interpretação e resolução de exercícios práticos e problemas de aplicação, está diretamente relacionada com OA2, OA3 e OA4. Ao resolverem exercícios práticos, os alunos aprofundam o seu entendimento do produto interno e da ortogonalidade, bem como das séries de funções e da análise de Fourier, aplicando a teoria à prática. MEA3 promove o trabalho em grupo, uma estratégia pedagógica que complementa a aprendizagem individual e encoraja a discussão e o intercâmbio de ideias entre os alunos. Esta metodologia suporta particularmente OA5 e OA6, pois permite aos alunos colaborar na aplicação da transformada de Fourier e na análise de sinais em diferentes domínios, promovendo uma compreensão mais profunda através da partilha de diferentes perspectivas e abordagens. MEA4 envolve atividades experimentais em laboratório, onde os alunos podem explorar computacionalmente os conteúdos programáticos. Esta metodologia é essencial para atingir OA7, pois proporciona a oportunidade de aplicar conhecimentos teóricos em Python, uma habilidade prática que os estudantes necessitam para a análise de dados experimentais ou simulados, bem como para a descrição da análise de dados. Por fim, MEA5 incide no auto-estudo, encorajando os alunos a consolidar o seu conhecimento e a desenvolver autonomia na aprendizagem. Esta metodologia é transversal a todos os OAs, pois o trabalho autónomo permite aos alunos revisitar e aprofundar todos os conceitos abordados, além de praticar a resolução de problemas e exercícios para reforçar a sua compreensão. A avaliação, que está em consonância com as metodologias de ensino, incluindo testes escritos para testar a compreensão teórica, trabalhos computacionais de grupo para avaliar a capacidade colaborativa e de aplicação prática e para medir a capacidade de implementar soluções computacionais aos problemas matemáticos. Através desta abordagem integrada, as MEAs garantem que os alunos não só compreendem a teoria matemática avançada, mas também são capazes de aplicá-la em contextos práticos e computacionais, alinhando-se assim de forma eficaz com os OAs estabelecidos para a UC.

Observações / Observations

As aulas são teórico-práticas e laboratoriais com programação em Python de exploração de conteúdos programáticos e elaboração de algoritmos. É aconselhado o número mínimo de 5 horas semanais em trabalho autónomo (MEA5) para consulta da bibliografia indicada, resolução de exercícios e problemas, exploração computacional em Python e revisão de conteúdos programáticos. Para fazer face ao número de horas de contacto, a metodologia de ensino-aprendizagem adotada inclui ferramentas e estratégias inovadoras de apoio à lecionação e ao trabalho autónomo do aluno. É obtida uma formação melhor consolidada nos CPs da UC ao ser acautelado um número de horas de trabalho autónomo por parte do aluno, respeitando o ritmo da sua aprendizagem. São disponibilizados, pela equipa docente, materiais científico-pedagógicos (slides, notas de desenvolvimento, código e pseudo código, fichas de exercícios e problemas).

Bibliografia Principal / Main Bibliography

[4] Pedro Girão (2014) Introdução à Análise Complexa, Séries de Fourier e Equações diferenciais, IST press [3] Ronald L. Lipsman and Jonathan M. Rosenberg (2018) Multivariable Calculus with MATLAB, Springer [2] A. V. Oppenheim, A. S. Willlsky (2013) Signals and Systems, 2nd Ed., Pearson [1] Djairo G. Figueiredo (2022) Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. IMPA, 4ª Ed

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2024-09-15