Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2025/2026

Pré-requisitos / Pre-Requisites

NA

Objetivos Gerais / Objectives

Em diferentes áreas como a gestão, as finanças ou a economia, são necessárias ferramentas importantes da matemática. Entre elas, destacam-se o cálculo para funções de uma ou mais variáveis, a otimização e a álgebra linear. Neste curso concentramos a atenção no cálculo para funções de uma variável e fazemos uma breve introdução aos problemas de otimização envolvendo este tipo de funções. As restantes ferramentas serão objeto de estudo no 2º semestre. Pretende-se que os alunos adquiram o conhecimento e as técnicas fundamentais do cálculo de uma variável, tendo como principal objetivo a compreensão dos conceitos, apresentando-os geométrica, numérica e algebricamente. Uma boa aprendizagem dos tópicos abordados servirá também de alicerce ao cálculo de mais de uma variável. Pretende-se transmitir a utilidade do cálculo no contexto das licenciaturas. Para tal, abordam-se, sempre que possível, aplicações do cálculo a outras áreas, dando particular ênfase às da economia, gestão ou finanças.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1. Compreender o conceito de derivada enquanto limite especial e ferramenta essencial para resolver problemas de taxas de variação, otimização ou aproximação de funções por polinómios OA2. Compreender o conceito de integral definido e a sua ligação ao cálculo diferencial; conhecer os métodos de integração para integrar funções simples, mas também funções mais complexas; aplicar o integral para, por exemplo, calcular áreas entre curvas OA3. Reconhecer uma equação diferencial e sua importância na modulação matemática de fenómenos reais; saber resolver equações diferenciais separáveis e aplicá-las em modelos de crescimento populacional OA4. Compreender o conceito de série e de convergência de série; saber determinar a convergência das séries geométricas e usá-las para resolver alguns problemas reais; justificar a importância das séries na representação de funções como somas de séries infinitas e analisar fenómenos substituindo uma função pelos primeiros termos da série que a representa

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Derivadas Derivadas e a função derivada; a Regra da Cadeia; Derivação implícita; derivada da função inversa; aproximações lineares e quadráticas; polinómios de Taylor; aplicações da derivação (taxas de variação nas ciências naturais e sociais, Teorema do Valor Médio e regra de L'Hôpital). CP2. Integrais Introdução ao cálculo integral; primitivas; técnicas de primitivação; integral definido, Teorema Fundamental do Cálculo e integral indefinido; aplicações dos integrais (áreas entre curvas, valor médio de uma função, aplicações à economia). CP3. Equações Diferenciais Ordinárias Modelação com equações diferenciais; equações separáveis; modelos de crescimento populacional. CP4. Séries Sucessões e séries; séries geométricas e alguns testes de convergência; aplicações de séries à economia e finanças.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

A descrição dos conteúdos programáticos nos seus diferentes itens permite concluir quanto à contribuição de cada um deles para os objetivos de aprendizagem: OA1 - CP1 OA2 - CP2 OA3 - CP3 OA4 - CP4 Os conteúdos programáticos CP1 (Diferenciabilidade) visam capacitar os alunos com ferramentas matemáticas para atingir os objetivos de aprendizagem OA1. O segundo capítulo (CP2 - Integração) abrange conceitos de Cálculo Integral que permitem aos alunos atingir os objetivos de aprendizagem OA2. Os conteúdos programáticos CP3 (Equações Diferenciais Ordinárias) abordam fundamentos matemáticos que permitem que os alunos sejam capazes de entender, resolver e aplicar equações diferenciais ordinárias a problemas reais (OA3). O útimo capítulo (CP4 - Séries) fornece uma base matemática coerente para atingir os objetivos de aprendizagem OA4.

Avaliação / Assessment

Os alunos podem optar por uma das seguintes modalidades de avaliação: - (AS) - Avaliação ao longo do semestre, composta por: 1) 4 mini-testes presenciais (20%), com as seguintes regras: -realizados em aula, ao longo do período letivo; - para cálculo da nota final nesta componente serão consideradas as 3 melhores notas obtidas nos 4 mini-testes (contribuindo 1/3 cada uma); - nota mínima de 10.0 valores na média aritmética dos três melhores mini-testes. 2) Frequência (80%): prova escrita realizada na 1ª época ou na 2ª época de exames, com nota mínima de 8.50 valores. - (AE) - Avaliação por exame: realização de uma prova escrita (com um peso de 100%), na 1ª época ou na 2ª época do período de avaliação. 1. A nota mínima de aprovação na unidade curricular é de 9.50 valores, arredondando para uma nota final de 10 valores. 2. A Frequência e o Exame ocorrem simultaneamente, englobando toda a matéria. 3. Um aluno será excluído da modalidade de Avaliação ao Longo do Semestre, passando automaticamente para o modo de Avaliação por Exame, se obtiver nota inferior a 10.0 valores na média dos três melhores mini-testes. 4. Se a nota obtida no exame de $1^\text{a}$ ou de $2^\text{a}$ época for superior à nota obtida na Avaliação ao Longo do Semestre, a modalidade passa automaticamente para Avaliação por Exame. (Ou seja, conta a melhor das 2 notas.) 5. A avaliação na época especial apenas contempla a modalidade de Avaliação por Exame. 6. Os alunos repetentes dispõem das mesmas modalidades de avaliação, sujeitas às mesmas regras. 7. Os professores responsáveis reservam-se o direito de fazer orais sempre que se justifique.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Nas aulas teóricas, o método de ensino utilizado é essencialmente expositivo. Os conceitos teóricos são apresentados e acompanhados de exemplos ilustrativos. Sempre que possível, os alunos são desafiados diretamente a participar e a discutir os conceitos lecionados. Nas aulas práticas são resolvidos os exercícios indicados no PUC. O método de ensino é principalmente participativo e de discussão. Ou seja, a resolução dos exercícios é feita em conjunto com os alunos, que são incentivados a pensar nos mesmos antes da aula. Espera-se que o aluno realize um trabalho autónomo, com a resolução de exercícios fornecidos pelo docente e leitura da bibliografia recomendada. De forma a motivar o aluno a acompanhar as aulas e a realizar o trabalho autónomo escolheu-se um processo de avaliação periódica com momentos de avaliação frequentes e diferentes. O PUC foi elaborado de forma a funcionar como documento orientador no processo de ensino-aprendizagem do aluno: contém informação, aula a aula, dos conteúdos teóricos e práticos lecionados, acompanhados da respetiva referência bibliográfica. Existem ainda períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer dúvidas.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As aulas teóricas abrangem todos os objetivos conceptuais de aprendizagem, fundamentais para a compreensão dos diferentes conteúdos programáticos. As aulas práticas permitem testar e aplicar os conhecimentos adquiridos nas aulas teóricas, através da resolução de exercícios, abrangendo assim os restantes objetivos de aprendizagem.

Observações / Observations

Não é permitido o uso de máquinas de calcular, telemóveis, smart watches, ou quaisquer outros equipamentos eletrónicos nas provas escritas. A utilização ilícita de tais equipamentos será sancionada em concordância com o Regulamento Disciplinar de Discentes.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

- James Stewart, Cálculo Volume 1 -- Tradução da 8a Edição Norte Americana, 2017, Cengage Learning. ISBN-13: 9788522125838 - James Stewart, Cálculo Volume 2 -- Tradução da 8a Edição Norte Americana, 2017, Cengage Learning. ISBN-13: 9788522125845 James Stewart, Calculus, Early Transcendentals, International Metric Edition, 8th Edition, Cengage Learning. Print ISBN: 9781305272378

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Knut Sydsaeter, Peter Hammond & Arne Strom, Andrés Carvajal, Essential Mathematics for Economic Analysis, 5th edition, 2016, Pearson. ISBN-13: 9781292074610

Data da última atualização / Last Update Date

2025-07-25