Ficha Unidade Curricular (FUC)
Informação Geral / General Information
Carga Horária / Course Load
Área científica / Scientific area
Matemática
Departamento / Department
Departamento de Matemática
Ano letivo / Execution Year
2026/2027
Pré-requisitos / Pre-Requisites
Aprovação prévia à UC Cálculo Diferencial e Integral (04790) é altamente recomendada. Nomeadamente, conhecimentos essenciais sobre funções reais de variável real: domínio e contradomínio, função composta, função inversa e função implícita, limites, continuidade, derivação, fórmula de Taylor.
Objetivos Gerais / Objectives
Esta UC vem no seguimento da UC Cálculo Diferencial e Integral, do 1o semestre, a qual é dedicada ao cálculo para funções de uma só variável. Nesta UC pretende-se que os alunos adquiram as ferramentas principais da álgebra linear, do cálculo de funções de mais de uma variável e da otimização, ao mesmo tempo que se transmite a utilidade dos conceitos apreendidos no contexto das licenciaturas em que se insere a UC. Para tal, abordam-se, sempre que possível, aplicações a outras áreas, dando particular ênfase às da economia, gestão ou finanças.
Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes
No final desta UC o aluno deverá: OA1. Dominar a linguagem vetorial e matricial, usá-la para resolver e classificar sistemas de equações lineares; calcular, interpretar e aplicar determinantes de matrizes; calcular e interpretar valores e vetores próprios, diagonalizar matrizes e aplicar estas ferramentas para classificar formas quadráticas. OA2. Conhecer diferentes pontos de vista para o estudo de funções de mais de uma variável (descritivo, numérico, algébrico e gráfico), bem como os conceitos fundamentais de limite, continuidade e diferenciabilidade destas funções. Adquirir familiaridade no cálculo de derivadas parciais e reconhecer as diferenças em relação ao cálculo com funções de uma só variável. OA3. Reconhecer e resolver problemas de otimização, não condicionada e condicionada, que envolvem funções com mais de uma variável; reconhecer e formular um problema de otimização linear e determinar graficamente a sua solução ótima, no caso de duas variáveis.
Conteúdos Programáticos / Syllabus
CP1. Álgebra Linear - Sistemas de equações lineares: Eliminação de Gauss. Classificação de sistemas. - Matrizes e álgebra matricial: Propriedades. Dependência e independência de linear. Característica duma matriz. Eliminação de Gauss-Jordan. - Determinantes: Definição, propriedades e utilidade. Inversão de matrizes. - Valores e vetores próprios. Diagonalização. - Formas quadráticas. CP2. Funções de mais de uma variável - Funções definidas em R^n. - Limites e continuidade. Derivadas parciais. - Planos tangentes e aproximações lineares. Diferenciabilidade. - A regra da cadeia. Derivação implícita. - Derivadas direcionais e o vetor gradiente. CP3. Otimização em R^n - Extremos livres em R^n: Extremos locais e absolutos. Matriz Hessiana. - Extremos condicionados em R^n: Multiplicadores de Lagrange. - Programação linear: Método gráfico. Interpretação económica.
Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes
Os conteúdos programáticos CP1 (Álgebra Linear) fornecem uma base matemática coerente e completa para atingir os objetivos de aprendizagem OA1. Os conteúdos programáticos CP2 (Funções de mais de uma variável) vêm no seguimento da UC Cálculo Diferencial e Integral, permitindo extender grande parte dos conceitos aí aprendidos ao caso de funções de várias variáveis, assim atingindo o objetivo de aprendizagem OA2. Os conteúdos programáticos CP3 (Otimização em R^n) beneficiam dos conhecimentos técnicos adquiridos com CP1 e CP2, empregando-os para formular e resolver problemas de otimização (OA3).
Avaliação / Assessment
Os alunos podem optar por uma das seguintes modalidades de avaliação: (AS) Avaliação ao longo do semestre, composta por: - 1 teste intermédio escrito (45%), englobando apenas o conteúdo programático CP1, com nota mínima de 8.50 valores; - 1 frequência (45%), prova escrita realizada na 1a época ou na 2a época de exame, incidido principalmente sobre os conteúdos programáticos CP2 e CP3, e com nota mínima de 8.50 valores; - Exercícios resolvidos individualmente, em aula, ao longo do período letivo (10%). Relativamente aos exercícios resolvidos em aula, haverão pelo menos 10 momentos durante as aulas ao longo do semestre com oportunidades para os alunos resolverem e entregarem os exercícios propostos. Os estudantes podem entregar até 3 destes exercícios nas primeiras 6 semanas (serão consideradas as 2 melhores notas), e até 3 destes exercícios nas últimas 6 semanas (serão consideradas as 2 melhores notas). A nota resultante destas entregas de exercícios será a média aritmética dos 4 exercícios considerados. (AE) Avaliação por exame: realização de uma prova escrita (com um peso de 100%), na 1a época ou na 2a época do período de avaliação. Observações: 1. A nota mínima de aprovação na unidade curricular é de 9.50 valores, arredondando para uma nota final de 10 valores. 2. A Frequência e o Exame ocorrem simultaneamente. O aluno tem de optar entre a realização de uma ou outra prova. 3. Um aluno será excluído da modalidade de Avaliação ao longo do semestre, passando automaticamente para o modo de Avaliação por exame, se obtiver nota inferior a 8.50 valores no teste intermédio. 4. A avaliação na época especial apenas contempla a modalidade de Avaliação por exame. 5. Os alunos repetentes dispõem das mesmas modalidades de avaliação, sujeitas às mesmas regras. 6. Não é permitido o uso de máquinas de calcular, telemóveis, smart watches, ou quaisquer outros equipamentos eletrónicos nas provas escritas. A utilização ilícita de tais equipamentos será sancionada em concordância com o Regulamento Disciplinar de Discentes. São ainda aplicáveis, sempre que pertinentes, as disposições do Código de Conduta Académica. 7. Os professores responsáveis reservam-se o direito de, após a correção das provas escritas, realizar sessões de discussão individuais para confirmar que o aluno detém os conhecimentos demonstrados na provas, e sempre que se justifique. 8. Prevê-se também a possibilidade de realização de discussões para defesa de notas finais superiores a 17 valores.
Metodologias de Ensino / Teaching methodologies
A componente letiva decorre em aulas teórico-práticas. Pretende-se alternar momentos de caráter expositivo, onde se apresentam os conceitos teóricos acompanhados de exemplos ilustrativos, com uma componente prática, onde serão resolvidos os exercícios propostos no PUC. O método de ensino na vertente prática é principalmente participativo e de discussão. Ou seja, a resolução dos exercícios é feita em conjunto com os alunos, que são incentivados a pensar nos mesmos antes da aula. Espera-se que o aluno realize um trabalho autónomo, com a resolução de exercícios fornecidos pelo docente e leitura da bibliografia recomendada. De forma a motivar o aluno a acompanhar as aulas e a realizar o trabalho autónomo escolheu-se um processo de avaliação ao longo do semestre com momentos de avaliação frequentes. O PUC foi elaborado de forma a funcionar como documento orientador no processo de ensino-aprendizagem do aluno: contém informação, aula a aula, dos conteúdos teóricos e práticos lecionados, acompanhados da respetiva referência bibliográfica. Existem ainda períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer as suas dúvidas.
Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes
As metodologias de ensino-aprendizagem visam atingir os objetivos de aprendizagem. As componentes teóricas abrangem todos os objetivos conceptuais de aprendizagem, fundamentais para a compreensão dos diferentes conteúdos programáticos. As componentes práticas permitem testar e aplicar os conhecimentos anteriormente adquiridos, através da resolução de exercícios, abrangendo assim os restantes objetivos de aprendizagem.
Observações / Observations
Bibliografia Principal / Main Bibliography
Howard Anton & Chris Rorres, "Álgebra Linear com Aplicações", Tradução da 10a Edição, 2012, Bookman. James Stewart, "Cálculo, Volume 2", Tradução da 8a Edição Norte Americana, 2016, Cengage Learning. Howard Anton & Chris Rorres, "Elementary Linear Algebra: Applications Version", 10th Edition, 2010, Wiley. James Stewart, "Calculus : Early Transcendentals", 8th Edition, International Metric Edition, 2016, Cengage Learning.
Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography
Knut Sydsaeter, Peter Hammond, Arne Strom & Andrés Carvajal, "Essential Mathematics for Economic Analysis", 5th edition, 2016, Pearson. Alpha C. Chiang & Kevin Wainwright, "Fundamental Methods of Mathematical Economics", 4th Edition, 2005, McGraw-Hill.
Data da última atualização / Last Update Date
2026-08-06