Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

460 - Matemática e estatística

Departamento / Department

Departamento de Tecnologias Digitais

Ano letivo / Execution Year

2025/2026

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Não tem pré-requisitos.

Objetivos Gerais / Objectives

Esta unidade curricular (UC) pretende fornecer ao estudante uma base sólida em conceitos fundamentais da matemática, em temas como a lógica, a teoria de conjuntos, a indução e as estruturas algébricas. Permite ao estudante desenvolver o rigor lógico, o raciocínio dedutivo, a capacidade de abstração e de demonstração em matemática, o domínio de operações e o conhecimento de estruturas matemáticas. Prepara o estudante para UCs mais avançadas, garantindo a transição entre a matemática do ensino secundário e a matemática do ensino superior, e capacita para o uso dos conceitos fundamentais em qualquer contexto matemático.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1. Formular e resolver problemas de forma estruturada OA2. Compreender a importância da modelação na representação de fenómenos OA3. Adquirir noções de algoritmia matemática OA4. Efetuar operações lógicas e determinar o valor lógico de proposições OA5. Aplicar os princípios da lógica e os quantificadores na formulação de argumentos OA6. Conhecer a linguagem da teoria de conjuntos OA7. Efetuar operações sobre conjuntos e generalizá-las para famílias indexadas OA8. Identificar os métodos de demonstração em matemática OA9. Aplicar a indução matemática OA10. Construir e interpretar demonstrações matemáticas OA11. Comunicar raciocínios matemáticos com clareza e rigor OA12. Identificar relações de equivalência e ordem sobre conjuntos OA13 Classificar conjuntos quanto à cardinalidade OA14. Compreender as noções fundamentais de grupo, anel e corpo OA15. Identificar homomorfismos e isomorfismos entre estruturas algébricas OA15. Aplicar conceitos de divisibilidade e aritmética modular

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Pensamento matemático: algoritmia, modelação e resolução de problemas CP2. Lógica matemática - Designação, proposição e condição - Conectivos e semântica - Quantificadores - Sistemas numéricos em diferentes bases CP3. Teoria de conjuntos - Definição em extensão e em compreensão, conjunto das partes de um conjunto - Operações com conjuntos e extensão a famílias indexadas CP4. Métodos de demonstração - Diretas e indiretas - Construtivas (ex. prova algorítmica) e não construtivas - Indução matemática CP5. Relações, partições e recursividade - Produto cartesiano e relações de equivalência e de ordem - Partições e o teorema de classes de equivalência - Funções recursivas, sucessões, relações de recorrência e somatório CP6. Cardinalidade, conjuntos equipotentes e hipótese do contínuo CP7. Estruturas algébricas e morfismos CP8. Congruência e aritmética modular CP9. Divisibilidade dos inteiros, algoritmo de Euclides, números primos e teorema fundamental da aritmética

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

Os conteúdos programáticos (CP) estão alinhados com os objetivos de aprendizagem (OA), numa sequência lógica e estruturada, garantindo que os estudantes adquiram as competências necessárias. Em CP1 é abordado o pensamento matemático garantindo OA1 a OA3. A lógica matemática (CP2) fornece as bases de argumentação (OA5) para estruturar demonstrações formais (OA4). CP3 suporta a linguagem matemática formal (OA6-OA7). Distinguir métodos de demonstração (CP4) reforça a argumentação e a validação de resultados (OA8-OA9) e prepara para a leitura e construção de demonstrações (OA10-OA11). CP5 suporta a estrutura dos conjuntos e a formalização de algoritmos recursivos (OA12) e permite compreender conjuntos em abstrato. CP6 distingue entre conjuntos finitos, infinitos e numeráveis, até à hipótese do contínuo (OA13). As estruturas algébricas (CP7) elevam a noção de operação a um nível mais abstrato (OA14-OA15). Em CP8 e CP9 é abordada a estrutura dos inteiros e o papel dos números primos (OA16).

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores numa das modalidades seguintes: - Avaliação ao longo do semestre: 4 miniteste realizados em aula (20%) + 4 trabalhos realizados em grupo (20%) + Prova escrita final realizada na data da 1ª época (60%); todos os elementos de avaliação são obrigatórios e têm nota mínima de 7,5 valores. ou - Avaliação por Exame (100%).

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Serão aplicadas as metodologias de ensino (ME) seguintes: Expositiva e Interativa (ME1): Integração dos conceitos teóricos com exemplos práticos. Ativa e Participativa (ME2): Resolver exercícios em sala de aula para aplicar conceitos teóricos, promovendo interação e participação ativa. Trabalho Autónomo (ME3): Realizar autoestudo através de tarefas propostas, fora do horário de aulas, incentivando o estudo contínuo e o progresso dos estudantes.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

Cada metodologias de ensino (ME) está alinhada com diferentes objetivos de aprendizagem (OA), garantindo um percurso estruturado e eficaz para o desenvolvimento das competências matemáticas dos estudantes. A abordagem Expositiva e Interativa (ME1) integra teoria com exemplos práticos, para que os estudantes desenvolvam uma compreensão sólida dos conceitos matemáticos, através da apresentação de exemplos concretos e estratégias de resolução de problemas (OA1), da exploração de aplicações matemáticas a contextos reais (OA2), da interpretação de tabelas de verdade e conectivos lógicos (OA4), da representação visual para ilustrar conceitos fundamentais (OA6), da explicação detalhada de diferentes técnicas de prova com exemplos ilustrativos (OA8), e do uso de exemplos concretos de estruturas algébricas (OA14). A metodologia Ativa e Participativa (ME2) centra-se na resolução de exercícios em sala de aula, promovendo um ambiente dinâmico em que os estudantes aplicam os conceitos teóricos, discutem soluções e interagem com os colegas e o docente, desenvolvendo o pensamento crítico e colaborativo; em concreto, os estudantes resolvem problemas que envolvem raciocínio algorítmico e recursivo (OA3), praticam demonstrações e inferências matemáticas em grupo (OA5), consolidam o conhecimento através de exercícios dirigidos (OA7), testam hipóteses e validam propriedades matemáticas em diferentes contextos (OA9), desenvolvem a capacidade de elaborar e comunicar provas rigorosas (OA10), analisam e aplicam propriedades relacionais em exercícios práticos (OA12) e resolvem problemas de congruências e decomposição de inteiros em sala de aula (OA16). O trabalho autónomo (ME3) fomenta o estudo independente e complementa as atividades desenvolvidas em sala de aula, permitindo que os estudantes consolidem conhecimentos ao seu próprio ritmo e desenvolvam autonomia na aprendizagem; são propostas tarefas que visam o desenvolvimento progressivo das competências matemáticas; na prática, é exigido que os estudantes elaborem justificações escritas para os problemas resolvidos autonomamente (OA11), explorem diferentes abordagens para distinguir conjuntos finitos, infinitos, numeráveis e não numeráveis (OA13), aprofundem a relação entre diferentes estruturas matemáticas através da leitura e resolução de exercícios avançados (OA15), e resolvam problemas desafiantes que envolvem o teorema fundamental da aritmética e o algoritmo de Euclides (OA16).

Observações / Observations

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Bibliografia Principal / Main Bibliography

"[1] A Transition to Advanced Mathematics Seventh Edition by Smith, Eggen, St. Andre, Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011. [2] Transition to Higher Mathematics: Structure and Proof, Second Edition, Bob A. Dumas, John E. McCarthy, 2014. [3] Lecture Notes for Transition to Advanced Mathematics, James S. Cook, Liberty Universit, 2009."

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-07-21