Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

460 - Matemática e estatística

Departamento / Department

Departamento de Tecnologias Digitais

Ano letivo / Execution Year

2025/2026

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Os estudantes devem ter conhecimentos de cálculo diferencial e integral em funções reais de variável real, de cálculo diferencial multivariável e de álgebra linear.

Objetivos Gerais / Objectives

Esta unidade curricular (UC) visa capacitar os estudantes dos princípios gerais da modelação matemática e da sua implementação, desde a resolução de equações diferenciais ordinárias e sistemas de equações diferenciais ordinárias até à teoria moderna de sistemas dinâmicos. Os estudantes são expostos tanto à compreensão teórica quanto à implementação prática, garantindo uma aprendizagem integrada, progressiva e aplicada, com destaque para a formulação, implementação, análise e simulação computacional de modelos matemáticos, com forte ênfase na aplicação computacional.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1. Compreender a modelação matemática (MM) e identificar as fases do processo OA2. Distinguir os vários tipos de modelos matemáticos OA3. Compreender os desafios na criação de modelos dos fenómenos reais OA4. Formular modelos de equações diferenciais ordinárias (EDO) ou de sistemas de EDOs OA5. Resolver EDOs e sistemas de EDOs por técnicas analíticas e apoio computacional OA6. Aplicar a transformada de Laplace em EDOs OA7. Analisar sistemas de EDOs em diversos contextos OA8. Identificar e classificar pontos de equilíbrio de sistemas dinâmicos (SD) OA9. Estudar o comportamento qualitativo de SDs a partir de diagramas de fase OA10. Implementar modelos matemáticos em Python OA11. Simular computacionalmente fenómenos físicos e sistemas biológicos OA12. Avaliar modelos por meio do ajuste de parâmetros e análise de erros numéricos OA13. Aplicar técnicas de MM em engenharia, física, biologia, economia e finanças OA14. Comunicar a análise de modelos e as conclusões de forma clara e rigorosa

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Introdução à modelação matemática (MM) - Ciclo da MM: formulação, análise, validação e interpretação - Modelos determinísticos vs. estocásticos e contínuos vs. discretos CP2.Equações diferenciais ordinárias (EDO) - Modelos baseados em EDOs: populações, decaimento radioativo, dinâmica de fluidos, epidemiologia, osciladores harmónicos e circuitos elétricos - EDOs de ordem 1: separação de variáveis, fator integrante, equação exata e linear - EDOs de ordem 2: linear de coeficientes constantes e transformada de Laplace - Sistemas de EDOs CP3. Introdução aos sistemas dinâmicos (SD) - Pontos de equilíbrio e estabilidade - Diagramas de fase e análise qualitativa de SDs - Atratores, bifurcações e comportamento caótico CP4. MM e Simulação Computacional - Exemplos de MM em engenharia, física, biologia, economia e finanças - Implementação computacional de modelos - Simulação de fenómenos físicos e sistemas biológicos - Validação de modelos: ajuste de parâmetros e análise de erro

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

Os OAs estão alinhados com os CPs, para que os estudantes desenvolvam as competências previstas. Em CP1 é iniciado o processo de MM, identificando as fases (OA1) e os tipos de MM (OA2); refletir a criação de modelos dá uma visão crítica sobre MM de fenómenos reais (OA3). Em CP2, através de exemplos (OA4), são explorando técnicas analíticas e computacionais (OA5-OA7). CP3 introduz a teoria dos SDs, que se baseia em análise qualitativa; os diagramas de fase ilustram a dinâmica do SD (OA8, OA9), sem conhecer as soluções analíticas. Em CP4, é usado código Python para uma abordagem prática e aplicada (OA10) e a simulação computacional mostra a aplicação a problemas concretos (OA11); o ajuste de parâmetros e análise de erro (OA12) reforçam a capacidade crítica na interpretação dos resultados de simulação; exemplos de aplicação a várias áreas (OA13), garante a interdisciplinaridade da MM; a importância da comunicação clara e rigorosa da análise de modelos é reforçada ao longo da UC (OA14).

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores (escala 1-20) numa das modalidades seguintes: - Avaliação ao longo do semestre: 1 trabalho de projeto realizado em grupo (40% - apresentação na data da 1ª época) + 2 testes intermédios (25% cada) + atividades de trabalho autónomo (10%); todos os elementos de avaliação têm nota mínima de 8 valores (escala 1-20). - Avaliação por Exame (100%), em qualquer uma das épocas de avaliação. - Poderá ser realizada uma avaliação oral complementar após qualquer momento de avaliação para validação da nota final.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Serão aplicadas as metodologias de ensino (ME) seguintes: - Expositiva e Interativa (ME1): Integração dos conceitos teóricos com exemplos práticos. - Ativa e Participativa (ME2): Resolver exercícios em sala de aula para aplicar conceitos teóricos, promovendo interação e participação ativa. - Problem-Based Learning (ME3): Uso de sessões práticas para a aplicação dos conhecimentos teóricos através de softwares de modelação e simulação. - Trabalho Autónomo (ME4): Realizar autoestudo através de tarefas propostas, fora do horário de aulas, incentivando o estudo contínuo e o progresso dos estudantes.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

São adotadas metodologias de ensino (ME) que garantem uma aprendizagem estruturada, tanto na compreensão teórica como na aplicação prática dos conhecimentos. A coerência entre os objetivos de aprendizagem (OA) e as ME asseguram competências matemáticas sólidas em modelação matemática (MM), com foco na resolução de problemas e na implementação computacional de modelos matemáticos. ME1 permite introduzir os conceitos teóricos da MM, através de exemplos práticos que permitem identificar as fases do processo (OA1), facilitam distinguir os vários tipos de modelos (OA2), alertam para os desafios da MM de fenómenos reais (OA3) e ilustram a presença dos conceitos abstratos em áreas do conhecimento distintas. A introdução teórica dos conteúdos é essencial para a formulação e análise de modelos matemáticos (OA4, OA7, OA8). A metodologia Ativa e Participativa (ME2) envolve a resolução de exercícios em aula, promovendo a interação entre os estudantes e estimulando o pensamento crítico, através de técnicas analíticas e computacionais (OA5, OA7). Em particular, a resolução de exercícios permite consolidar a interpretação de diagramas de fase e a obtenção de conclusões sobre o comportamento qualitativo dos SDs (OA9), fornecendo as bases para a análise de fenómenos dinâmicos complexos. A Problem-Based Learning (ME3) envolve sessões laboratoriais com o uso de código em Python na modelação e simulação computacional (OA10), promovendo a transição da teoria para a computação. As simulações computacionais permitem reproduzir fenómenos físicos e sistemas biológicos (OA11), validando a aplicabilidade dos modelos matemáticos a problemas reais, o ajuste de parâmetros e a análise de erro (OA12), pois é essencial saber avaliar e melhorar um modelo. A resolução de problemas em diversas áreas (OA13) reforça a interdisciplinaridade da MM, para além de promover uma aprendizagem experimental e estimular a autonomia dos estudantes para responder a desafios. Com o trabalho autónomo (ME4) são consolidados os conhecimentos adquiridos em aula e a melhoria das competências matemáticas. Os estudantes são incentivados a realizar tarefas de autoestudo e investigação, reforçando a sua capacidade de formular modelos matemáticos (OA4) e resolver EDOs e sistemas de EDOs (OA5, OA7). É ainda importante que os estudantes explorem e analisem SDs mais avançados (OA8, OA9) e aperfeiçoem as suas competências computacionais na implementação e simulação dos mesmos (OA10, OA11), seja qual for a área científica ou tecnológica de proveniência (OA13). A escrita de relatórios e as apresentações consolidam a capacidade de comunicar a análise de modelos de forma clara e rigorosa (OA14), essencial nos contextos profissional e académico. O trabalho autónomo complementa as restantes metodologias, garantindo que os estudantes desenvolvem a capacidade de estudar e aplicar os conceitos por iniciativa própria, preparando-os para desafios futuros.

Observações / Observations

Bibliografia Principal / Main Bibliography

"1. William P. Fox, Maurice D. Weir and Frank R. Giordano, A First Course in Mathematical Modeling, 3rd edition, 2003. 2. William E. Boyce and Richard C. di Prima, Elementary Differential Equations, 10th edition, John Wiley & Sons, 2012. 3. Martin Braun, Differential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics, 4th edition, Springer, 1993."

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-07-21