Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

N.a.

Objetivos Gerais / Objectives

O estudante deverá adquir conceitos e resultados fundamentais de uma primeira abordagem à Álgebra Linear, nomeadamente espaços vetoriais de dimensão finita e funções lineares. O formalismo matricial é ao longo do curso, quer de um ponto de vista teórico e conceptual pela relação entre funções lineares e matrizes, quer na aplicação à resolução de sistemas de equações lineares, através do método de Gauss-Jordan. A aplicação de métodos computacionais (linguagem python) à Álgebra Linear tem como objetivo consolidar e complementar os conhecimentos adquiridos.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da UC o aluno deverá ser capaz de: OA1: Conhecer e aplicar as estruturas algébricas e geométricas dos espaços vetoriais R^2 e R^3. OA2: Utilizar a linguagem matricial na resolução de sistemas de equações lineares. OA3. Calcular, interpretar e aplicar determinantes à resolução de sistemas de equações lineares. OA4. Interpretar espaços vetoriais abstratos de dimensão finita como subespaços de R^n ou C^n. OA5. Identificar as funções lineares como as funções naturais entre espaços vetoriais; utilizar a forma matricial de uma função linear; relacionar funções lineares com a geometria no plano. OA6. Calcular e interpretar valores e vetores próprios; aplicar os vetores próprios à diagonalização e cálculo de potências de matrizes. OA7. Classificar formas quadráticas.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Os espaços vetoriais R^2 e R^3. 1.1 Base, dimensão e coordenadas de um vetor. 1.2 Produto interno e norma. CP2. Matrizes e sistemas de equações lineares 2.1 Método de eliminação de Gauss-Jordan. Aplicação aos sistemas de equações lineares. 2.2 Operações matriciais. 2.3 Matrizes elementares e de permutação. Decomposição LU. CP3. Determinantes 3.1. Definição e propriedades. 3.2. Matriz adjunta. 3.3. Sistemas de Cramer. CP4. Espaços vetoriais 4.1 Espaço vetorial. R^n e C^n. subespaço gerado. 4.2 Base e dimensão. 4.2 Soma e soma direta de subespaços vetoriais. Espaço produto e espaço quociente. CP5. Funções lineares 5.1 Definição, núcleo e imagem. 5.2 Matriz de uma função linear. 5.3 Subespaços vetoriais associados a uma matriz e Teorema da dimensão. 5.4 Mudança de base CP6. Valores e vetores próprios 6.1 Subespaços invariantes, valores e vetores próprios. 6.2 Diagonalização de matrizes e potências de matrizes. 6.3 Introdução às formas quadráticas.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

O OA1, onde é introduzido o conceito de espaço vetorial através dos exemplos de R^2 e R^3, é abordado no CP1. O método de eliminação de Gauss-Jordan, tratado no CP2, mostra como a abordagem matricial é eficaz para resolver sistemas de equações lineares (OA2). Paralelamente, são estudas as operações matricias no CP2. A cálculo e aplicação dos determinantes (OA3) é feito no CP3. A estrutura de espaço vetorial abstrato (OA4) é abordada no CP4. As funções lineares (OA5) são estudadas no CP5. Entre as funções lineares, destacam-se os endomorfismos, cujo estudo dos valores e vetores própios (OA6) permite decompor em objetos mais simples através da diagonalização. Por sua vez, feita a diagonalização, é possível calcular de forma simples, potências de matrizes, que de outra forma seriam intratáveis. Estes tópicos são tratados no CP6. As formas quadráticas (OA7) podem ser classificadas através dos valores próprios da matriz associada, são tratadas no CP6.

Avaliação / Assessment

Avaliação ao longo do semestre: - Seis fichas realizadas individualmente ao longo do semestre, sem caráter obrigatório, contando as 5 melhores notas com o peso de 25% na nota final; - Teste final presencial com o peso de 75 % na nota final, com nota mínima de 7,5 valores. Avaliação por exame (1ª Época em caso de escolha do estudante, 2ª Época e Época Especial): Exame presencial (100% da nota final). A nota mínima de aprovação na unidade curricular é de 10 valores. Os docentes reservam-se o direito de, após a correção do teste, realizar uma conversa com o aluno para confirmar que este detém os conhecimentos demonstrados na prova. São ainda aplicáveis, sempre que pertinente, as disposições do Código de Conduta Académica.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As metodologias de ensino e de aprendizagem (MEA) desta UC permitem que os estudantes adquiram tanto o conhecimento teórico como as competências práticas necessárias para alcançar os objetivos de aprendizagem estabelecidos. As aulas dividem-se em sessões teórico-práticas e práticas com programação em Python. A MEA1 (Exposição e discussão) permite aos alunos adquirir conhecimento teórico através de explicações detalhadas e debates sobre os temas estudados, facilitando a compreensão dos conceitos fundamentais. Esta metodologia é complementada pela MEA2 (Resolução de exercícios), que oferece aos estudantes a oportunidade de aplicar o conhecimento teórico em situações práticas, promovendo a resolução de problemas e a consolidação dos conceitos aprendidos. Além disso, a MEA3 (Trabalho autónomo) é crucial para o desenvolvimento da autonomia e responsabilidade dos alunos no seu processo de aprendizagem. Espera-se que os alunos dediquem de 4 a 6 horas semanais ao trabalho autónomo, que inclui a consulta da bibliografia indicada e a revisão da matéria, bem como a resolução de exercícios e problemas. Este tempo também é destinado à realização de experiências computacionais utilizando Python, uma ferramenta essencial para a aplicação prática dos conceitos de Álgebra Linear. Este modelo pedagógico, que integra aulas expositivas, resolução de exercícios e trabalho autónomo com programação em Python, assegura uma aprendizagem ativa e contextualizada, preparando os alunos para enfrentar desafios reais e complexos no campo da matemática aplicada e da economia e finanças.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino-aprendizagem (MEA) desta unidade curricular estão desenhadas para atingir os objetivos de aprendizagem (OA) estabelecidos. A MEA1 (Exposição e discussão) é fundamental para alcançar os OA1 a OA7, uma vez que permite aos alunos compreender a teoria por trás dos conceitos e métodos apresentados nos conteúdos programáticos. Durante as aulas teórico-práticas, os conceitos fundamentais, são explicados e debatidos, garantindo uma compreensão sólida e profunda. A discussão em aula promove um ambiente de aprendizagem ativa, onde os alunos podem clarificar dúvidas e aprofundar o seu conhecimento, essencial para a assimilação dos temas abordados. A MEA2 (Resolução de exercícios) e a MEA3 (Trabalho autónomo) complementam a exposição teórica, garantindo que os alunos não só compreendem a teoria, mas também são capazes de aplicá-la em situações práticas. Durante as aulas, os alunos são incentivados a resolver exercícios em conjunto com o professor, aplicando os conhecimentos adquiridos para resolver problemas relacionados com os OA1 a OA7. A programação em Python é integrada nas aulas, permitindo aos alunos explorar os conteúdos programáticos de forma interativa e prática. Para solidificar os conteúdos aprendidos em aula, é essencial que os alunos dediquem de 4 a 6 horas semanais ao trabalho autónomo. Este tempo deve ser utilizado para a revisão da matéria, consulta da bibliografia recomendada, resolução adicional de exercícios e realização de experiências computacionais em Python, assegurando uma aprendizagem contínua e profunda que abrange todos os objetivos de aprendizagem da unidade curricular.

Observações / Observations

N.a.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

S. Axler, “Linear Algebra Done Right”. UTM, Springer, Fourth Edition 2024. T. S. Blyth, E. F. Robertson, “Basic Linear Algebra”. SUMS, Springer-Verlag, New York, 2002. M. Tsukada et. al “Linear Algebra with Python. Theory and Applications”, Springer, 2023.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-10-28