Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

N.a.

Objetivos Gerais / Objectives

O estudante deverá adquir conceitos e resultados fundamentais de uma primeira abordagem à Álgebra Linear, nomeadamente espaços vetoriais de dimensão finita e funções lineares. O formalismo matricial é ao longo do curso, quer de um ponto de vista teórico e conceptual pela relação entre funções lineares e matrizes, quer na aplicação à resolução de sistemas de equações lineares, através do método de Gauss-Jordan. A aplicação de métodos computacionais (linguagem python) à Álgebra Linear tem como objetivo consolidar e complementar os conhecimentos adquiridos.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da UC o aluno deverá ser capaz de: OA1: Conhecer e aplicar as estruturas algébricas e geométricas dos espaços vetoriais R^2 e R^3. OA2: Utilizar a linguagem matricial na resolução de sistemas de equações lineares. OA3. Calcular, interpretar e aplicar determinantes à resolução de sistemas de equações lineares. OA4. Interpretar espaços vetoriais abstratos de dimensão finita como subespaços de R^n ou C^n. OA5. Identificar as funções lineares como as funções naturais entre espaços vetoriais; utilizar a forma matricial de uma função linear; relacionar funções lineares com a geometria no plano. OA6. Calcular e interpretar valores e vetores próprios; aplicar os vetores próprios à diagonalização e cálculo de potências de matrizes. OA7. Classificar formas quadráticas.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Os espaços vetoriais R^2 e R^3. 1.1 Base, dimensão e coordenadas de um vetor. 1.2 Produto interno e norma. CP2. Matrizes e sistemas de equações lineares 2.1 Método de eliminação de Gauss-Jordan. Aplicação aos sistemas de equações lineares. 2.2 Operações matriciais. 2.3 Matrizes elementares e de permutação. Decomposição LU. CP3. Determinantes 3.1. Definição e propriedades. 3.2. Matriz adjunta. 3.3. Sistemas de Cramer. CP4. Espaços vetoriais 4.1 Espaço vetorial. R^n e C^n. subespaço gerado. 4.2 Base e dimensão. 4.2 Soma e soma direta de subespaços vetoriais. Espaço produto e espaço quociente. CP5. Funções lineares 5.1 Definição, núcleo e imagem. 5.2 Matriz de uma função linear. 5.3 Subespaços vetoriais associados a uma matriz e Teorema da dimensão. 5.4 Mudança de base CP6. Valores e vetores próprios 6.1 Subespaços invariantes, valores e vetores próprios. 6.2 Diagonalização de matrizes e potências de matrizes. 6.3 Introdução às formas quadráticas.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

O OA1, onde é introduzido o conceito de espaço vetorial através dos exemplos de R^2 e R^3, é abordado no CP1. O método de eliminação de Gauss-Jordan, tratado no CP2, mostra como a abordagem matricial é eficaz para resolver sistemas de equações lineares (OA2). Paralelamente, são estudas as operações matricias no CP2. A cálculo e aplicação dos determinantes (OA3) é feito no CP3. A estrutura de espaço vetorial abstrato (OA4) é abordada no CP4. As funções lineares (OA5) são estudadas no CP5. Entre as funções lineares, destacam-se os endomorfismos, cujo estudo dos valores e vetores própios (OA6) permite decompor em objetos mais simples através da diagonalização. Por sua vez, feita a diagonalização, é possível calcular de forma simples, potências de matrizes, que de outra forma seriam intratáveis. Estes tópicos são tratados no CP6. As formas quadráticas (OA7) podem ser classificadas através dos valores próprios da matriz associada, são tratadas no CP6.

Avaliação / Assessment

1 — Avaliação ao longo do semestre: a) Atividades de aprendizagem ativa, realizadas regularmente nas aulas ou na sequência direta do trabalho nelas desenvolvido (35%). Estas atividades têm classificação individual e podem envolver a preparação e discussão de textos, a resolução e explicação de problemas, a resposta a questões, a exploração orientada de ideias matemáticas que serão posteriormente desenvolvidas e a participação no trabalho proposto. A natureza concreta e os critérios de cada atividade serão comunicados previamente aos estudantes. b) Teste final individual, escrito e presencial, realizado na 1.ª época (65%), com nota mínima de 9,0 valores. A classificação de referência desta modalidade corresponde à média ponderada das duas componentes. A avaliação ao longo do semestre exige uma presença mínima em 80% das aulas, sem prejuízo das situações previstas no Regulamento de Estudantes com Estatuto Especial. 2 — Avaliação por exame: exame individual, escrito e presencial, realizado na 1.ª Época, na 2.ª Época ou na Época Especial e incidindo sobre a totalidade dos conteúdos da UC. A classificação obtida no exame corresponde à classificação de referência desta modalidade. Os estudantes com classificação de referência superior ou igual a 9,50 valores, antes do arredondamento, realizam uma prova oral. Na avaliação ao longo do semestre, o docente pode dispensar desta prova os estudantes cujos elementos de avaliação individual permitam confirmar de forma suficiente os conhecimentos demonstrados. Na avaliação por exame, a prova oral é obrigatória para os estudantes com classificação de referência superior ou igual a 9,50 valores. Quando se realiza prova oral, a classificação final corresponde ao menor valor entre a classificação de referência e a classificação obtida na prova oral. Quando não há lugar à realização da prova oral ou quando é concedida dispensa, a classificação final corresponde à classificação de referência. A aprovação na UC exige uma classificação final mínima de 10 valores. São aplicáveis o Regulamento Geral de Avaliação de Conhecimentos e Competências, o Regulamento de Estudantes com Estatuto Especial e o Código de Conduta Académica do Iscte.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Na UC de Álgebra Linear e Aplicações I, as aulas combinam momentos de apresentação e sistematização dos conceitos e principais resultados com uma forte componente de estudo ativo e de participação dos estudantes. Na componente expositiva são introduzidos os conceitos, resultados e métodos fundamentais, apresentando-se e discutindo-se as respetivas interpretações algébricas e geométricas. Esta componente é articulada com atividades em que os estudantes trabalham diretamente os conteúdos, individualmente ou em interação com os colegas e docentes, incluindo a resolução de problemas e a realização de experiências computacionais. Pretende-se que os estudantes não se limitem à aplicação mecânica de métodos, mas sejam capazes de explicar o raciocínio seguido, identificar dificuldades e relacionar as representações algébrica, geométrica e computacional dos conceitos. Serão disponibilizados materiais e fichas de trabalho para apoiar as atividades realizadas nas aulas e o estudo autónomo. O trabalho autónomo inclui a consulta da bibliografia, a revisão da matéria, a resolução de exercícios e problemas e a realização de experiências computacionais. A realização regular de atividades de aprendizagem ativa permite acompanhar o progresso dos estudantes, fornecer feedback ao longo do semestre e incentivar uma preparação continuada.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

Os momentos de apresentação e sistematização fornecem as bases teóricas para os conceitos e métodos de Álgebra Linear (OA1 a OA7). A discussão das interpretações algébricas e geométricas promove a compreensão e aplicação dos resultados. As atividades de aprendizagem ativa permitem trabalhar regularmente os conteúdos, resolver problemas e explicar o raciocínio seguido. As experiências computacionais permitem explorar sistemas lineares, operações matriciais, funções lineares, valores próprios e diagonalização, apoiando os OA2, OA5 e OA6. O feedback permite identificar dificuldades e orientar o estudo. Os materiais, fichas de trabalho e trabalho autónomo apoiam a consolidação das aprendizagens. A avaliação associada às aulas incentiva o estudo regular e acompanha o progresso. O teste final avalia a compreensão integrada e a aplicação autónoma dos conteúdos. A prova oral confirma a compreensão e a capacidade de explicar e justificar o raciocínio seguido.

Observações / Observations

Os estudantes são incentivados a utilizar modelos generativos de inteligência artificial, incluindo modelos de linguagem de grande escala (LLMs), como instrumentos de estudo, preparação e aprendizagem. É especialmente incentivada a utilização de modelos concebidos para a tutoria no ensino da matemática e do modelo disponibilizado no âmbito da UC. A utilização destas ferramentas não é permitida nos momentos de avaliação individual, escrita e presencial, nem em outros momentos em que essa restrição seja expressamente indicada. Nas restantes situações, a sua utilização é permitida e encorajada, de acordo com as indicações dadas para cada atividade. Quando a inteligência artificial seja utilizada na preparação de um elemento entregue para avaliação, o estudante deve identificar de forma clara como a utilizou, mantendo a responsabilidade pela correção, pelas fontes utilizadas e pela compreensão do conteúdo apresentado. Os conhecimentos demonstrados em elementos preparados com apoio de inteligência artificial podem ser confirmados através de discussão ou prova oral, prevalecendo a apreciação oral na avaliação da compreensão do estudante.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

S. Axler, “Linear Algebra Done Right”. UTM, Springer, Fourth Edition 2024. T. S. Blyth, E. F. Robertson, “Basic Linear Algebra”. SUMS, Springer-Verlag, New York, 2002. M. Tsukada et. al “Linear Algebra with Python. Theory and Applications”, Springer, 2023.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-10-28