Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

N.a.

Objetivos Gerais / Objectives

O estudante deverá adquir conceitos e resultados fundamentais de um segundo curso de Álgebra Linear, em dimensão finita e infinita, sobre os corpos dos números reais e números complexos. Em dimensão finita, deverá compreender conceitos abstratos dos espaços com produto interno (espaços Euclidianos), suas aplicações e saber determinar a forma canónica de jordan de uma matriz. Em dimensão infinita deverá saber aplicar e interpretar resultados de convergência e completude, interpretar os espaços de Hilbert como o análogo de dimensão infinita dos espaços Euclidianos e conhecer exemplos de bases Hilbertianas ortonormadas de certos espaços L^2 (bases de Fourier). A aplicação de métodos computacionais (linguagem Python) à Álgebra Linear tem como objetivo consolidar e complementar os conhecimentos adquiridos.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1: Compreender e aplicar o conceito de produto interno e ortogonalidade em espaços vetoriais complexos. OA2: Aplicar o método dos mínimos quadrados na resolução de problemas. OA3. Aplicar decomposições matriciais (SVD e QR). OA4. Identificar blocos de Jordan e implementar a forma canónica de Jordan de uma matriz. OA5. Conhecer resultados fundamentais de espaços métricos e normados. OA6. Compreender as noções de completude e separabilidade. OA7. Identificar espaços vetoriais de dimensão infinita. OA8. Conhecer a estrutura de espaço de Hilbert. OA9. Calcular bases de Fourier de certos espaços de Hilbert L^2.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Espaços Euclideanos 1.1. Produto interno, bases ortogonais e ortonormalização de Gram-Schmidt. 1.2. Complemento ortogonal de um subespaço. 1.3. Método dos mínimos quadrados. 1.4. Matrizes ortogonais e unitárias. 1.5. Matrizes simétricas e hermitianas. 1.6. Teoremas espetrais de matrizes hermitianas e normais. 1.7. Decomposição em valores singulares e decomposição QR. CP2. Forma canónica de Jordan 2.1. Vetores próprios generalizados. 2.2. Endomorfismos nilpotentes. 2.3. Forma canónica de Jordan. CP3. Espaços métricos e espaços normados 3.1. Espaços métricos. 3.2. Espaços normados. 3.3. Completude e separabilidade. 3.4 Teorema da contração de Banach. CP4. Introdução aos espaços de Hilbert 4.1 Definição e existência de bases ortonormadas. 4.2 O problema da melhor aproximação em espaços de Hilbert. 4.3 Dualidade: o Teorema da representação de Riesz. 4.4 Base de Fourier dos espaços de Hilbert L^2.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

As metodologias de ensino foram selecionadas de forma a corresponder aos objetivos de aprendizagem da UC. O OA1 é abordado no CP1, onde é introduzido o conceito de espaço Euclidiano e suas aplicações. Outras aplicações dos espaços Euclidianos, como o método dos mínimos quadrados (OA2) e decomposições matriciais (OA3), são detalhados no CP1. A forma canónica de Jordan de uma matriz (OA4) é abordada no CP2, concluindo o estudo de espaços vetorias de dimensão finita. A transição para a dimensão infinita requer conhecimentos sobre convergência e separabilidade (OA5 e OA6). Assim, algumas noções elementares de espaços métricos e normados (OA7) são introduzidas no CP3. Os espaços de Hilbert (OA8), o análogo em dimensão infinita dos espaços Euclidianos, são abordados no CP4. É então explorada a noção de base de Hilbert e são apresentados vários exemplos concretos de bases de Fourier (polinómios de Legendre, Funções de Laguerre e funções de Hermite) de certos espaços L^2 (OA9).

Avaliação / Assessment

As metodologias de ensino e de aprendizagem (MEA) desta UC permitem que os estudantes adquiram tanto o conhecimento teórico como as competências práticas necessárias para alcançar os objetivos de aprendizagem estabelecidos. As aulas dividem-se em sessões teórico-práticas e práticas com programação em Python. A MEA1 (Exposição e discussão) permite aos alunos adquirir conhecimento teórico através de explicações detalhadas e debates sobre os temas estudados, facilitando a compreensão dos conceitos fundamentais. Esta metodologia é complementada pela MEA2 (Resolução de exercícios), que oferece aos estudantes a oportunidade de aplicar o conhecimento teórico em situações práticas, promovendo a resolução de problemas e a consolidação dos conceitos aprendidos. Além disso, a MEA3 (Trabalho autónomo) é crucial para o desenvolvimento da autonomia e responsabilidade dos alunos no seu processo de aprendizagem. Espera-se que os alunos dediquem de 4 a 6 horas semanais ao trabalho autónomo, que inclui a consulta da bibliografia indicada e a revisão da matéria, bem como a resolução de exercícios e problemas. Este tempo também é destinado à realização de experiências computacionais utilizando Python, uma ferramenta essencial para a aplicação prática dos conceitos de Álgebra Linear. Este modelo pedagógico, que integra aulas expositivas, resolução de exercícios e trabalho autónomo com programação em Python, assegura uma aprendizagem ativa e contextualizada, preparando os alunos para enfrentar desafios reais e complexos no campo da matemática aplicada e da economia e finanças.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As metodologias de ensino e de aprendizagem (MEA) desta UC permitem que os estudantes adquiram tanto o conhecimento teórico como as competências práticas necessárias para alcançar os objetivos de aprendizagem estabelecidos. As aulas dividem-se em sessões teórico-práticas e práticas com programação em Python. A MEA1 (Exposição e discussão) permite aos alunos adquirir conhecimento teórico através de explicações detalhadas e debates sobre os temas estudados, facilitando a compreensão dos conceitos fundamentais. Esta metodologia é complementada pela MEA2 (Resolução de exercícios), que oferece aos estudantes a oportunidade de aplicar o conhecimento teórico em situações práticas, promovendo a resolução de problemas e a consolidação dos conceitos aprendidos. Além disso, a MEA3 (Trabalho autónomo) é crucial para o desenvolvimento da autonomia e responsabilidade dos alunos no seu processo de aprendizagem. Espera-se que os alunos dediquem de 4 a 6 horas semanais ao trabalho autónomo, que inclui a consulta da bibliografia indicada e a revisão da matéria, bem como a resolução de exercícios e problemas. Este tempo também é destinado à realização de experiências computacionais utilizando Python, uma ferramenta essencial para a aplicação prática dos conceitos de Álgebra Linear. Este modelo pedagógico, que integra aulas expositivas, resolução de exercícios e trabalho autónomo com programação em Python, assegura uma aprendizagem ativa e contextualizada, preparando os alunos para enfrentar desafios reais e complexos no campo da matemática aplicada e da economia e finanças.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino-aprendizagem (MEA) desta unidade curricular estão desenhadas para atingir os objetivos de aprendizagem (OA) estabelecidos. A MEA1 (Exposição e discussão) é fundamental para alcançar os OA1 a OA9, uma vez que permite aos alunos compreender a teoria por trás dos conceitos e métodos apresentados nos conteúdos programáticos. Durante as aulas teórico-práticas, os conceitos fundamentais, são explicados e debatidos, garantindo uma compreensão sólida e profunda. A discussão em aula promove um ambiente de aprendizagem ativa, onde os alunos podem clarificar dúvidas e aprofundar o seu conhecimento, essencial para a assimilação dos temas abordados. A MEA2 (Resolução de exercícios) e a MEA3 (Trabalho autónomo) complementam a exposição teórica, garantindo que os alunos não só compreendem a teoria, mas também são capazes de aplicá-la em situações práticas. Durante as aulas, os alunos são incentivados a resolver exercícios em conjunto com o professor, aplicando os conhecimentos adquiridos para resolver problemas relacionados com os OA1 a OA9. A programação em Python é integrada nas aulas, permitindo aos alunos explorar os conteúdos programáticos de forma interativa e prática. Para solidificar os conteúdos aprendidos em aula, é essencial que os alunos dediquem de 4 a 6 horas semanais ao trabalho autónomo. Este tempo deve ser utilizado para a revisão da matéria, consulta da bibliografia recomendada, resolução adicional de exercícios e realização de experiências computacionais em Python, assegurando uma aprendizagem contínua e profunda que abrange todos os objetivos de aprendizagem da unidade curricular.

Observações / Observations

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Bibliografia Principal / Main Bibliography

'S. Axler, “Linear Algebra Done Right”, UTM, Springer, Fourth Edition 2024. S. Blyth, E. F. Robertson, “Further Linear Algebra”, SUMS, Springer-Verlag, New York, 2002. E. Provenzi, “From Euclidean to Hilbert Spaces: Introduction to Functional Analysis and its Applications”, Wiley, 2021. M. Tsukada et. al “Linear Algebra with Python. Theory and Applications”, Springer, 2023.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-10-28