Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Código :

05040

Acrónimo :

05040

Ciclo :

1.º ciclo

Línguas de Ensino :

Português (pt)

Língua(s) amigável(eis) :

Carga Horária / Course Load

Semestre :

Créditos ECTS :

3.0

Aula Teórica (T) :

0.0h/sem

Aula Teórico-Prática (TP) :

18.0h/sem

- Presencial (TP) :

18.0h/sem

Aula Prática e Laboratorial (PL) :

0.0h/sem

Trabalho de Campo (TC) :

0.0h/sem

Seminario (S) :

0.0h/sem

Estágio (E) :

0.0h/sem

Orientação Tutorial (OT) :

1.0h/sem

- Presencial (OT) :

1.0h/sem

Outras (O) :

0.0h/sem

Horas de Contacto :

19.0h/sem

Trabalho Autónomo :

56.0

Horas de Trabalho Total :

75.0h/sem

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Análise Matemática I e Análise Matemática II. Conhecimentos de Álgebra Linear (produto interno e espaço vetorial).

Objetivos Gerais / Objectives

A unidade curricular é direcionada a estudantes com uma base sólida em Análise Matemática I e II e conhecimentos de álgebra linear, como espaços vetoriais e produto interno. Pela primeira vez vão ser introduzidos à Análise Complexa e o objetivo é proporcionar uma compreensão sólida de conceitos fundamentais nas duas áreas. Os alunos irão explorar funções analíticas, integrais no plano complexo, séries de Taylor e Laurent, e o Teorema dos Resíduos, adquirindo ferramentas essenciais para a resolução de integrais complexos.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da unidade curricular, o aluno deverá ser capaz de: OA1. Explicar as estruturas algébrica, geométrica e topológica do plano complexo OA2. Calcular limites e continuidade de funções complexas, derivada complexa, identificar condições para que uma função seja analítica OA3. Definir integrais de linha complexos e calculá-los, explicar o significado teórico e prático do Teorema e da Fórmula integral de Cauchy OA4. Determinar convergência de séries de potências e representar localmente funções analíticas por uma série de potências OA5. Calcular séries de Laurent para funções analíticas com singularidades, classificar as singularidades associadas OA6. Calcular resíduos de funções analíticas, resolver problemas de integração complexa utilizando o Teorema dos Resíduos

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Funções analíticas Os números complexos e o plano complexo. Propriedades. Funções complexas elementares. Limites e funções contínuas. Funções analíticas. Equações de Cauchy-Riemann. CP2. Teorema de Cauchy Integrais de linha complexos. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. CP3. Séries de Taylor e Laurent Séries convergentes de funções analíticas. Séries de potências e Teorema de Taylor. Séries de Laurent. Classificação de singularidades. CP4. Teorema dos Resíduos Cálculo de resíduos. Teorema dos Resíduos. Cálculo de integrais definidos.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

O estudo do plano complexo e das funções analíticas (CP1) estabelece as bases para entender as diferentes estruturas do plano complexo (OA1-OA2). A introdução dos integrais de linha complexos e do teorema de Cauchy (CP2) permite compreender e aplicar a fórmula integral de Cauchy para resolver problemas de integração complexa (OA3). As séries de Taylor e Laurent são fundamentais para representar funções analíticas localmente (CP3). A análise de convergência dessas séries é essencial para esta representação. No caso das séries de Laurent, estas são úteis para estudar singularidades de funções analíticas (OA4-OA5). O cálculo dos resíduos e o Teorema dos Resíduos (CP4) são essenciais para calcular integrais complexos (OA6).

Avaliação / Assessment

As aulas são de carácter teórico-prático. São usadas três metodologias de ensino e aprendizagem principais: esclarecimento de dúvidas e resolução de exercícios (MEA1), exposição e discussão da matéria (MEA2) e trabalho autónomo dos alunos (MEA3). Regra geral, num primeiro momento, usa-se a MEA1, consistindo na revisão de conteúdos abordados na aula anterior, no esclarecimento e discussão de dúvidas, e na resolução dos exercícios propostos. Num segundo momento, as aulas têm um carácter mais teórico e usa-se a MEA2. O professor apresenta os novos conteúdos, sempre acompanhados de exemplos ilustrativos. Paralelamente, o aluno deve realizar um trabalho autónomo (MEA3). O trabalho autónomo incentiva a autonomia e a responsabilidade no processo de aprendizagem, e envolve a resolução de exercícios recomendados pelos professores, a leitura da bibliografia recomendada e a procura de recursos adicionais, como vídeos ou softwares educacionais. Existem ainda aulas de atendimento semanal onde os alunos podem discutir dificuldades específicas e receber orientação adicional.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino adotadas são organizadas para garantir que os alunos alcancem os objetivos de aprendizagem estabelecidos. Cada metodologia está alinhada com os objetivos de aprendizagem OA1-OA6 da seguinte forma: A aquisição de competências para aplicar os conceitos teóricos é alcançada através da MEA1, através da resolução e discussão de exercícios em aulas, em grupo ou individualmente, com a orientação do professor. A MEA2 garante que cada aluno possa desenvolver uma compreensão sólida dos conceitos fundamentais através da apresentação dos mesmos de forma expositiva, detalhada, e com exemplos ilustrativos. A prática autónoma da MEA3, através da resolução de exercícios adicionais e da leitura de outros recursos, dá autonomia e reforça a aprendizagem de todos os objetivos de aprendizagem.

Observações / Observations

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-10-28