Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Conhecimentos básicos de Álgebra Linear, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, e programação em Python. Estes pré-requisitos são de caráter limitativo.

Objetivos Gerais / Objectives

Dotar os estudantes de uma formação sólida em análise numérica e métodos numéricos, bem como na sua aplicabilidade a problemas nas áreas da economia e das finanças. Os conceitos teóricos serão desenvolvidos em paralelo com a sua implementação prática em Python.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1. Compreender erros numéricos e estabilidade computacional OA2. Avaliar a eficiência computacional de diferentes métodos numéricos OA3. Aplicar métodos diretos e iterativos para resolver sistemas de equações lineares e não-lineares OA4. Aprender e implementar técnicas de aproximação, diferenciação e integração OA5. Implementar os algoritmos discutidos em Python

Conteúdos Programáticos / Syllabus

I - Computação numérica 1. Representação de números, valores aproximados, arredondamentos, erros 2. Propagação de erros, número de condição, estabilidade numérica 3. Convergência e custo computacional II - Sistemas de equações lineares 1. Métodos diretos, eliminação de Gauss e estratégias de escolha de pivot 2. Método de factorização: LU, e Cholesky 3. Condicionamento de sistemas lineares 4. Métodos Iterativos: Jacobi e Gauss-Seidel III - Teoria da aproximação e interpolação 1. Interpolação polinomial de Lagrange e de Hermite 2. Teorema do erro de interpolação 3. Polinómios de Chebyshev e aproximação minimax 4. Aproximação dos mínimos quadrados IV - Sistemas de equações não-lineares 1. Métodos da bissecção, Newton-Raphson, e do ponto fixo 2. Convergência e estabilidade dos métodos V - Diferenciação e integração numéricas 1. Fórmulas de derivação numérica 2. Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes 3. Erros de integração 4. Fórmulas de quadratura de Gauss

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

Compreender erros numéricos e estabilidade computacional é crucial para garantir a precisão e confiabilidade dos cálculos em economia e finanças, prevenindo a propagação de erros e avaliando a robustez e eficiência dos algoritmos utilizados. Esta é a essência dos objetivos de aprendizagem OA1 e OA2, que é desenvolvido no módulo I. Os módulos II e IV fornecem diversas ferramentas para resolver sistemas de equações lineares e não-lineares, o que constitui o objetivo de aprendizagem OA3. No módulo III desenvolve-se a teoria de aproximação de funções e dados, enquanto que a diferenciação e integração numéricas são exploradas no módulo V. Em conjunto estes módulos permitem atingir o objetivo de aprendizagem OA4. O objetivo de aprendizagem OA5 é alcançado através da implementação computacional em Python dos métodos explorados em todos os módulos.

Avaliação / Assessment

'Atendendo ao caráter eminentemente prático desta unidade curricular, com uma componente laboratorial significativa, esta UC não prevê a modalidade de avaliação por exame e apenas a modalidade de avaliação ao longo do semestre está contemplada. A avaliação será baseada em 2 fichas de exercícios (valendo 20% cada), realizadas individualmente ao longo do semestre, um projeto de implementação em Python (valendo 20%), realizado em grupos de 2 ou 3 alunos (com apresentação e discussão final), e um teste escrito individual valendo 40% (com nota mínima de 8.5 valores). A época especial está reservada para os casos previstos no Artigo 14º do Regulamento Geral de Avaliação de Conhecimentos e Competências (RGACC) e contemplará uma só ficha de exercícios (com uma componente de implementação em Python valendo 20%), a ser realizada individualmente, e englobando toda a matéria da UC. Os docentes reservam-se o direito de, após a correção do teste, realizar uma conversa com o aluno para confirmar que este detém os conhecimentos demonstrados na prova. São ainda aplicáveis, sempre que pertinente, as disposições do Código de Conduta Académica.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As aulas desenrolam-se de acordo com as seguintes metodologias de ensino-aprendizagem (MEA): MEA1. Exposição e discussão em aulas teórico-práticas MEA2. Resolução de exercícios em aulas teórico-práticas MEA3. Trabalho autónomo do aluno MEA4. Aulas Laboratoriais - Estas aulas, uma por cada duas teórico-práticas, realizam-se no sistema Bring-Your-Own-Device onde os alunos irão implementar, em Python, aplicações dos conceitos desenvolvidos ao longo da UC.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As aulas teórico-práticas (MEA1) vão permitir introduzir os alunos aos conceitos fundamentais, técnicas e algoritmos previstos no programa. Nomeadamente, através de exposição teórica e da resolução de exercícios, os alunos aprenderão a analisar a propagação de erros numéricos, a estabilidade e a eficiência computacional de diversos métodos numéricos (OA1 e OA2), Igualmente, serão desenvolvidas competências técnicas ao nível da resolução de sistemas de equações lineares e não-lineares (OA3), bem como na interpolação, diferenciação e integração numéricas (OA4). Para atingir estes objetivos é necessário aliar a componente expositiva ao estudo autónomo (MEA3) e fomentar um espaço de participação ativa e crítica na aula (MEA1 e MEA2). As aulas de laboratório (MEA4) vão permitir reforçar as técnicas computacionais, em particular de programação em Pyhton, adquiridas pelos alunos ao longo do curso, e desenvolver competências ao nível da implementação de métodos numéricos (OA5) para resolver sistemas de equações lineares e não-lineares (OA3) e para aproximar, derivar ou integrar funções (OA4). A realização de um projeto em grupo ao longo do semestre, vai permitir aos alunos desenvolverem várias competências num ritmo mais personalizado (MEA3) e num contexto de aprendizagem comunitária. Este projeto vai levar os alunos a assimilarem e aprofundarem a matéria lecionada (OA1-OA4), bem como a desenvolverem as suas competências computacionais (OA5).

Observações / Observations

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Bibliografia Principal / Main Bibliography

'- Pina, H. "Métodos Numéricos", 2a edição, Escolar Editora, Lisboa, 2010. - Miranda, M. J. and Fackler, P.L. "Applied Computational Economics and Finance", MIT Press, 2002. - Chapra, S. C. "Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists", Third edition, McGraw-Hill, 2012.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

'- Burden, R.L. and Faires, J.D. "Numerical Analysis", Prindle, Weber & Schmidt, Boston, 1993. - Brandimarte, P. "Numerical Methods in Finance and Economics", 2nd edition, John Wiley & Sons, 2006.

Data da última atualização / Last Update Date

2025-10-28