Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Conhecimentos básicos de Álgebra Linear, Cálculo Diferencial e Integral, Séries de Fourier, Espaços de Funções e Programação em Python.

Objetivos Gerais / Objectives

Dotar os alunos de uma base sólida na área das equações diferenciais e da sua aplicabilidade na construção de modelos matemáticos, com especial relevo para as aplicações às finanças. Desenvolver, tanto a um nível teórico como ao nível da sua implementação (em Python), conceitos-chave e técnicas matemáticas para a resolução, análise e interpretação de modelos matemáticos baseados em equações diferenciais.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1. Construir e analisar modelos matemáticos baseados em equações diferenciais. OA2. Determinar a solução analítica de algumas equações diferenciais notáveis. OA3. Obter soluções aproximadas de equações diferenciais usando métodos numéricos apropriados. OA4. Implementar, em python, alguns dos métodos numéricos referidos no ponto anterior. OA5. Interpretar dum ponto vista financeiro os modelos desenvolvidos e os resultados obtidos através dos mesmos.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

I. Equações diferenciais ordinárias (EDOs) 1. Equações de variáveis separadas. 2. EDOs lineares de 1ª e 2ª ordem. 3. Sistemas de EDOs lineares. 4. Teoremas de Existência e Unicidade. 5. Métodos de Euler e de Runge-Kutta. 6. Aplicações a ciências naturais, economia e finanças. II. A equação do calor. 1. Introdução às equações às derivadas parciais. 2. A equação do calor na física e em finanças. 3. Existência e unicidade. 4. Solução Fundamental e solução em termos de séries Fourier. 5. Diferenças finitas. 6. Opções Financeiras e o modelo de Black-Scholes. III. Equações de Hamilton-Jacobi (HJ). 1. HJ no contexto financeiro. 2. Propriedades fundamentais. 3. Método das características. 4. Modelos de portfólio de Merton. 5. Diferenças finitas para HJ. 6. PINNs – Physics Informed Neural Networks.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

OA1 e OA5. Os temas desenvolvidos nesta uc são ricos em aplicações e serão enquadrados com o desenvolvimento e análise de modelos em ciências naturais, economia e finanças. Neste ponto os teoremas de existência e unicidade têm um papel fundador. OA2. Este objetivo será atingido através da introdução de técnicas para a obtenção de soluções de algumas equações diferenciais notáveis. Nomeadamente, métodos de integração explicita de EDOs separáveis e lineares, a construção da solução fundamental da equação do calor, obtenção de soluções em termos de séries de Fourier e a utilização do método das características em alguns casos particulares de equações HJ. OA3. O desenvolvimento de métodos numéricos está previsto em todos os capítulos, com o estudo do método de Euler e Runga-Kutta para obter soluções aproximadas de EDOs e a utilização de diferenças finitas no caso de EDPs. OA4. Através da implementação computacional em Python, dos métodos referidos no ponto anterior.

Avaliação / Assessment

ME1. Aulas teórico-práticas: Nestas aulas serão apresentados os principais conceitos e técnicas explicitados no programa. Será ainda reservado tempo para discussão com os alunos, esclarecimento de dúvidas, resolução de exercícios e acompanhamento do projeto. ME2. Aulas laboratoriais: Desenvolvimento, em Pyhton, dos métodos numéricos/computacionais previstos no programa. ME3. Projeto: Desenvolvido em grupo, ao longo do semestre, com a análise detalhada de um modelo de matemática financeira, envolvendo dados e implementação computacional, usando PINNs – Physics Informed Neural Networks. ME4. Auto-estudo: Leitura de textos teóricos e resolução de exercícios.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

A UC Modelação Matemática e Dinâmica adotará as seguintes metodologia de ensino e aprendizagem. ME1. Aulas teórico-práticas: Nestas aulas serão apresentados os principais conceitos e técnicas explicitados no programa. Será ainda reservado tempo para discussão com os alunos, esclarecimento de dúvidas, resolução de exercícios e acompanhamento do projeto. ME2. Aulas laboratoriais: Desenvolvimento, em Pyhton, dos métodos numéricos/computacionais previstos no programa. ME3. Projeto: Desenvolvido em grupo, ao longo do semestre, com a análise detalhada de um modelo de matemática financeira, envolvendo dados e implementação computacional, usando PINNs – Physics Informed Neural Networks. ME4. Auto-estudo: Leitura de textos teóricos e resolução de exercícios.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As aulas teórico-práticas (ME1) vão permitir introduzir os alunos aos conceitos fundamentais de equações diferenciais previstos no programa. Nomeadamente, através de exposição teórica e a resolução de exercícios, introduzir os alunos a técnicas básicas de integração (OA2), desenvolver competências técnicas e críticas ao nível da modelação matemática (OA1 e OA5) e demonstrar rigorosa e detalhadamente teoremas de existência e unicidade (OA1 e OA2). Para atingir estes objetivos é necessário aliar a componente expositiva ao estudo autónomo (ME4) e fomentar um espaço de participação ativa e crítica na aula (ME1). As aulas de laboratório (ME2) vão permitir reforçar as técnicas computacionais, em particular de programação em Pyhton, adquiridas pelos alunos ao longo do curso, e desenvolver competências ao nível da implementação de métodos numéricos (OA4) para a obtenção de soluções aproximadas de equações diferenciais (OA3). Estas técnicas serão desenvolvidas no contexto de aplicações, em consonância com os objetivos OA1 e OA5. A realização de um projeto em grupo ao longo do semestre, vai permitir aos alunos desenvolverem várias competências num ritmo mais personalizado e num contexto de aprendizagem comunitária. Este projeto, que consiste na análise detalhada de um modelo de matemática financeira, envolvendo dados e implementação computacional, vai levar os alunos a reforçarem as suas capacidades analíticas (OA2), as suas competências ao nível da modelação matemática (OA1) num contexto financeiro (OA5), assim como o desenvolvimento de competências computacionais (OA2 e OA3). Neste projeto vai-se encorajar ainda a aprendizagem de um método (PINNs), baseado em aprendizagem profunda com redes neuronais, que permite a obtenção de soluções de modelos baseados em equações diferenciais e dados empíricos.

Observações / Observations

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Bibliografia Principal / Main Bibliography

1. Sandro Salsa, “Partial Differential Equations in Action”, Springer (2022). 2. Martin Braun, “Differential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics”, 4th edition, Springer (1993). 3. Pedro M. Girão, “Introdução à Análise Complexa, Séries de Fourier e Equações Diferenciais”, 2ª edição, IST press (2022). 4. Richard L. Burden and J. Douglas Faires, “Numerical Analysis”, Brooks/Cole, Cengage Learning (2010). 5. Miguel Ramos, “Curso Elementar de Equações Diferenciais”, Faculdade de Ciências (2000)

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-10-28