Ficha Unidade Curricular (FUC)
Informação Geral / General Information
Carga Horária / Course Load
Área científica / Scientific area
Matemática
Departamento / Department
Departamento de Matemática
Ano letivo / Execution Year
2026/2027
Pré-requisitos / Pre-Requisites
Os estudantes deverão revelar conhecimentos consolidados nas várias áreas de Análise Matemática, Álgebra Linear e Equações diferenciais.
Objetivos Gerais / Objectives
Nesta UC pretende-se dotar os estudantes da capacidade de resolução de problemas de programação dinâmica, controlo ótimo e controlo estocástico, tanto em tempo discreto quanto contínuo, em horizonte finito e infinito. Os estudantes irão conhecer resultados teóricos fundamentais de existência e controlabilidade e desenvolver a capacidade de resolução de problemas de controlo ótimo concretos aplicados a diversas áreas, com ênfase em modelos de crescimento económico. Exemplos específicos incluem consumo ótimo, publicidade ótima, exploração de recursos, e estratégias de investimento. Além disso, serão introduzidos aos conceitos básicos de controlo estocástico e suas aplicações práticas, como a seleção ótima de portfólios. Os estudantes irão utilizar ferramentas numéricas adequadas para a resolução de problemas de controlo ótimo, recorrendo ao Python.
Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes
No final da UC, cada estudante deverá ter adquirido as competências necessárias para: OA1. Conhecer os princípios da programação dinâmica em tempo discreto e contínuo, e suas aplicações em modelos de crescimento económico. OA2. Aplicar conceitos fundamentais de controlo ótimo, incluindo condições de existência e controlabilidade, e condições necessárias e suficientes de otimalidade. OA3. Desenvolver a capacidade de resolver problemas de controlo ótimo em horizontes finitos e infinitos, utilizando exemplos práticos como consumo ótimo, publicidade ótima, exploração de recursos esgotáveis e renováveis, e estratégias de investimento. OA4. Conhecer os conceitos básicos de controlo estocástico e suas aplicações práticas, como a seleção ótima de portfólios. OA5. Introduzir os estudantes à investigação científica na área da aplicação do controlo ótimo e estocástico à economia e finanças.
Conteúdos Programáticos / Syllabus
CP1.Programação dinâmica I. Programação dinâmica em tempo discreto. II. Programação dinâmica em tempo contínuo. III. Aplicações a modelos de crescimento económico. CP2.Controlo ótimo I. Existência e controlabilidade II. Condições necessárias e suficientes de otimalidade III. Controlo ótimo em horizonte finito IV. Controlo ótimo em horizonte infinito V. Exemplos: consumo ótimo; publicidade ótima; exploração de um recurso esgotável; exploração de um recurso renovável; estratégias de investimento. CP3. Introdução à teoria de controlo estocástico I. Introdução e motivação II. Problema básico de controlo estocástico III. Exemplos de aplicação: seleção ótima de portfólios
Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes
O conteúdo programático do CP1 está associado ao objetivo OA1, que refere os princípios gerais da programação dinâmica em tempo discreto e contínuo, e suas aplicações em modelos de crescimento económico. Os conteúdos CP2.I e CP2.II contêm os elementos necessários para compreender e aplicar conceitos fundamentais de controlo ótimo, incluindo condições de existência e controlabilidade, e condições necessárias e suficientes de otimalidade, permitindo aos alunos atingir o objetivo OA2. Os conteúdos CP2.III, CP2.IV e CP2.V estão diretamente associados ao objetivo OA3, desenvolvendo a capacidade de resolver problemas de controlo ótimo em horizontes finitos e infinitos, utilizando exemplos práticos como consumo ótimo, publicidade ótima, exploração de recursos esgotáveis e renováveis, e estratégias de investimento. O objetivo OA4 está associado ao CP3, que introduz os conceitos básicos de controlo estocástico e suas aplicações práticas, como a seleção ótima de portfólios.
Avaliação / Assessment
'A modalidade de avaliação preferencial será a 'Avaliação ao longo do semestre'. Este regime de avaliação é composto por por: i) dois trabalhos práticos realizados por grupos de dois estudantes; ii) duas provas escritas individuais. Cada um dos trabalhos tem um peso de 15% na nota final, enquanto o peso de cada prova é de 35%. Para ser aprovado, o aluno tem de cumprir os seguintes critérios: i) média ponderada igual ou superior a 9,5/20; ii) nota em todos os elementos de avaliação igual ou superior a 7,5/20. Alternativamente, o aluno pode optar pela modalidade de 'Avaliação por exame', a qual consiste na realização de uma prova escrita individual. Os docentes reservam-se o direito de, após a correção do teste, realizar uma conversa com o aluno para confirmar que este detém os conhecimentos demonstrados na prova. São ainda aplicáveis, sempre que pertinente, as disposições do Código de Conduta Académica.
Metodologias de Ensino / Teaching methodologies
São utilizadas as seguintes metodologias de ensino-aprendizagem (MEA): MEA1. Expositivas, para apresentação dos conteúdos teóricos fundamentais da programação dinâmica, teoria do controlo ótimo e controlo ótimo estocástico; MEA2. Participativas, com análise de problemas de aplicação a modelos de crescimento económico, problemas de controlo ótimo em horizonte finito e infinito aplicados à economia e à seleção ótima de portfólios; MEA3. Activas, com realização de trabalhos de grupo; MEA4. Práticas, resolvendo problemas de controlo ótimo e controlo estocástico, com aplicações à economia, usando Python; MEA5. Auto-estudo, pesquisa, com trabalho autónomo por parte do aluno envolvendo o estudo da matéria teórica, a realização de exercícios práticos e o uso de software econométrico.
Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes
A maioria das aulas tem um carácter teórico-prático. A primeira parte de cada aula será essencialmente expositiva (MEA1), tendo por objetivo a apresentação dos conteúdos teóricos fundamentais da programação dinâmica, controlo ótimo e controlo estocástico, ligados aos objetivos de aprendizagem OA1-OA5. A segunda parte da aula tem por objetivo a aplicação dos conhecimentos teóricos acabados de discutir, o que requer a participação ativa dos alunos, os quais terão de resolver problemas práticos (MEA2), nalguns casos recorrendo a ferramentas numéricas, usando Python, (MEA4) e trabalhando em grupo (MEA3) de forma a que também os objetivos de aprendizagem OA3, OA4 e OA5 sejam atingidos. Em todos os momentos da aula pressupõe-se que o aluno estudou de forma autónoma a matéria lecionada nas aulas anteriores (MEA5). As provas escritas previstas nas duas modalidades de avaliação contêm questões relativas aos objetivos de aprendizagem OA1-OA4.
Observações / Observations
--
Bibliografia Principal / Main Bibliography
'1. Acemoglu, D. "Introduction to Modern Economic Growth", Princeton University Press (2009). ISBN: 9780691132921 2. Weber, T. A. "Optimal Control Theory with Applications in Economics", MIT Press (2011) ISBN: 9780262015738 3. https://math.berkeley.edu/~evans/control.course.pdf
Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography
'1. Trélat, E., "Control in finite and infinite dimension", SpringerBriefs PDEs Data Sci., Springer, Singapore (2024), ISBN 978-981-97-5947-7 https://www.ljll.fr/trelat/fichiers/bookSB.pdf
Data da última atualização / Last Update Date
2025-10-28