Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Ter conhecimento dos conteúdos essencias das UC's: Análise Matemática I e II e Álgebra Linear e Aplicações I e II.

Objetivos Gerais / Objectives

A unidade curricular tem como objetivo fornecer uma primeira abordagem às probabilidades no enquadramento da teoria da medida, preparando os alunos para um desenvolvimento rigoroso dessa teoria. A ênfase recai na construção gradual dos conceitos fundamentais, equilibrando intuição e formalismo para introduzir espaços de probabilidade, variáveis aleatórias e esperança matemática. São abordadas noções essenciais de convergência e independência, bem como os primeiros contactos com processos estocásticos. Esta unidade curricular estabelece as bases para um estudo formal da teoria da medida e probabilidades, que será aprofundado na unidade curricular seguinte.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da unidade curricular, os estudantes deverão ser capazes de: 1. Compreender os fundamentos da teoria da medida e probabilidade, incluindo sigma-álgebras, medidas e espaços de probabilidade. 2. Interpretar variáveis aleatórias como funções mensuráveis e analisar as suas distribuições. 3. Relacionar a esperança matemática com o integral de Lebesgue. 4. Aplicar desigualdades fundamentais (Markov, Jensen, Chebyshev) no estudo da esperança matemática. 5. Estabelecer critérios de independência e convergência, incluindo convergência em probabilidade e quase certa, preparando a transição para teoremas limite. 6. Compreender os princípios básicos de processos estocásticos, incluindo cadeias de Markov e o movimento Browniano.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

1. Fundamentos de Probabilidade e Introdução à Teoria da Medida 1.1. Espaços de amostragem, σ-álgebras e medida de probabilidade 1.2. Variáveis aleatórias como funções mensuráveis e distribuições associadas 2. Esperança Matemática 2.1. Definição de esperança matemática no contexto da integração 2.2. Motivação para o integral de Lebesgue 2.3. Desigualdades fundamentais (Markov, Jensen, Chebyshev) 3. Independência e Dependência 3.1. Variáveis aleatórias multidimensionais 3.2. Critérios de independência e transformações de variáveis aleatórias 4. Convergência e Teoremas Limite 4.1. Noções de convergência: em probabilidade e quase certa 4.2. Teorema do Limite Central e função geradora de momentos 5. Introdução a Processos Estocásticos 5.1. Conceitos fundamentais e exemplos clássicos 5.2. Processos discretos e cadeias de Markov 5.3. Introdução a processos contínuos: movimento Browniano

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

O programa foi estruturado para assegurar uma progressão gradual dos conceitos fundamentais de probabilidade na teoria da medida. A introdução aos espaços de probabilidade e variáveis aleatórias (CP1) estabelece as bases para interpretar variáveis aleatórias como funções mensuráveis (OA2). A inclusão da esperança matemática como integral de Lebesgue e das desigualdades fundamentais (CP2) reforça a ligação entre teoria da medida e probabilidade, permitindo uma formulação mais precisa dos conceitos (OA3, OA4). Esta abordagem prepara os alunos para a formalização rigorosa da teoria da integração na segunda unidade curricular sobre o tema. A abordagem da independência e convergência (CP3, CP4) garante o domínio de critérios essenciais para o estudo assintótico das distribuições (OA5). Por fim, a introdução a processos estocásticos (CP5) oferece um primeiro contacto com modelação probabilística dinâmica, e prepara para aprofundamentos futuros em equações diferenciais estocásticas (OA6).

Avaliação / Assessment

A avaliação nesta unidade curricular segue o disposto no RGACC e prevê duas modalidades: Avaliação ao longo do semestre • São realizados dois testes escritos, de caráter individual. • Cada teste tem a ponderação de 50% na classificação final. • É exigida nota mínima de 9,5 valores em cada teste. Caso um dos testes não atinja a nota mínima, o/a estudante não obtém aprovação nesta modalidade. Avaliação por exame • Os/as estudantes que não optem pela avaliação ao longo do semestre ou que não obtenham aprovação nos testes podem apresentar-se a exame. • A prova de exame incide sobre toda a matéria lecionada, sendo obrigatoriamente escrita e de caráter individual, com a possibilidade de realizar prova oral caso se considere necessário um esclarecimento adicional. • A classificação final obtida na avaliação por exame substitui integralmente as classificações dos testes. Os docentes reservam-se o direito de, após a correção do teste, realizar uma conversa com o aluno para confirmar que este detém os conhecimentos demonstrados na prova. São ainda aplicáveis, sempre que pertinente, as disposições do Código de Conduta Académica.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As aulas serão organizadas em dois momentos; o momento de revisão da aula passada; e no de apresentação de novos conceitos. Assim, de ínicio começa-se por rever o conteúdo abordado na(s) aula(s) anterior(es), esclarecendo dúvidas teóricas e na resolução de exercícios. Após esta fase, introduz-se nova matéria de forma expositiva, proporcionando uma visão global dos conceitos, mas sem esperar debates extensos nesse momento. O trabalho autónomo dos estudantes consiste sobretudo na revisão dos conteúdos novos apresentados em aula e na resolução dos exercícios propostos, de forma a chegarem às aulas seguintes com bases sólidas e questões específicas. Este ciclo de exposição, estudo e discussão em sessões seguintes fomenta uma aprendizagem progressiva e participada.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino estão alinhadas com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular, garantindo a compreensão progressiva dos conceitos fundamentais de probabilidade numa formulação baseada na teoria da medida. Cada aula começa com a revisão de conteúdos e a discussão de exercícios, reforçando a ligação entre os conceitos anteriores e os novos resultados. A introdução de novos tópicos segue uma abordagem expositiva, iniciando-se com uma apresentação intuitiva antes de avançar para uma formulação mais rigorosa. Conceitos como sigma-álgebras, medida e espaços de probabilidade são inicialmente explorados de forma acessível, preparando os estudantes para um estudo mais formal na unidade curricular seguinte. Esta abordagem gradual evita um confronto abrupto com o formalismo matemático, permitindo uma familiarização progressiva. O trabalho autónomo desempenha um papel essencial na consolidação da aprendizagem. A resolução de exercícios facilita a aplicação prática das definições e propriedades, reforçando a intuição matemática antes da transição para formulações mais abstratas. Além disso, o estudo independente, orientado por exercícios selecionados, destaca as conexões entre probabilidade elementar e teoria da medida, incentivando uma visão mais estruturada dos conceitos. Ao longo do curso, a formulação da probabilidade clássica em espaços de medida assegura uma compreensão rigorosa de conceitos como variáveis aleatórias, expectativa e convergência. A introdução progressiva da integração de Lebesgue no contexto da esperança matemática proporciona uma base sólida para resultados fundamentais, como desigualdades clássicas e teoremas limite. Da mesma forma, a formalização da convergência de variáveis aleatórias nesta estrutura prepara os estudantes para um estudo mais aprofundado de teoria da medida aplicada. Em síntese, a articulação entre exposição teórica, revisão de conteúdos e trabalho autónomo sustenta a aprendizagem progressiva dos conceitos essenciais. O ciclo de ensino adotado garante não apenas a assimilação da probabilidade elementar, mas também a preparação para um aprofundamento rigoroso na disciplina.

Observações / Observations

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Bibliografia Principal / Main Bibliography

Bartle, R. G. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley, 1995. Brzeźniak, Z., & Zastawniak, T. Basic Stochastic Processes: A Course Through Exercises. Springer, 2000. Morais, M. C. Probabilidades e Estatística: Teoria, Exemplos e Exercícios. IST Press, 2020. Ross, S. M. Introduction to Probability Models, 11th ed. Academic Press, 2014. Notas de aula.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-10-28