Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Ter conhecimento dos conteúdos essencias das UC's: Análise Matemática I e II; Álgebra Linear e Aplicações I e II; Introdução à Teoria da Medida, Probabilidades e Aplicações I.

Objetivos Gerais / Objectives

A unidade curricular tem como objetivo formalizar a teoria da medida no contexto da teoria das probabilidades, aprofundando os conceitos introduzidos anteriormente. São apresentados os fundamentos da teoria da medida e integração, incluindo sigma-álgebras, mensurabilidade, medida e integral de Lebesgue, bem como a relação entre medida e probabilidade. Desenvolvem-se os principais teoremas de convergência e os teoremas limite clássicos das probabilidades, nomeadamente a Lei dos Grandes Números e o Teorema do Limite Central. Introduz-se o conceito de esperança matemática e distribuições condicionais, analisando as suas propriedades e aplicações. A unidade curricular inclui ainda uma introdução ao estudo de martingalas. O curso fornece a base matemática necessária para a modelação e análise rigorosa de fenómenos probabilísticos avançados, consolidando a transição para tópicos de estatística matemática e processos estocásticos.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da unidade curricular, os estudantes deverão ser capazes de: OA1. Definir formalmente sigma-álgebras, mensurabilidade e medidas de probabilidade. OA2. Entender a construção da medida e do integral de Lebesgue. OA3. Aplicar os teoremas da convergência monótona e dominada na integração de variáveis aleatórias. OA4. Entender e aplicar a Lei dos Grandes Números e o Teorema do Limite Central. OA5. Definir e calcular esperança condicional. OA6. Explicar a estrutura de martingalas e aplicar propriedades fundamentais.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

1. Introdução à Teoria da Medida 1.1. Mensurabilidade e sigma-álgebras em R 1.2. Medida de Lebesgue e integração 1.3. Teoremas de convergência: teorema da convergência monótona, lema de Fatou, teorema da convergência dominada 1.4. Medidas produto e teorema de Fubini-Lebesgue 2. Teoremas Limite de Probabilidade Clássicos 2.1. Sucessões de variáveis independentes 2.2. Lei dos Grandes Números 2.3. Teorema do Limite Central 2.4. Aplicações 3. Esperança Condicional e Distribuições Condicionais 3.1. Definição e exemplos 3.2. Propriedades e interpretações 3.3. Distribuições condicionais e desintegração de medidas

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

A introdução à teoria da medida (CP1) aborda sigma-álgebras, mensurabilidade e medidas de Lebesgue, cumprindo o objetivo de definir formalmente esses conceitos (OA1) e de entender a construção da medida e integral de Lebesgue (OA2). Os teoremas de convergência monótona e dominada são aplicados na integração de variáveis aleatórias (OA3). O estudo dos teoremas limite clássicos (CP2), incluindo a Lei dos Grandes Números e o Teorema do Limite Central, permite que os estudantes entendam e apliquem esses resultados, (atingindo OA4). Em seguida, a análise da esperança condicional e das distribuições condicionais (CP3) cumpre o objetivo de definir e calcular essas quantidades (OA5). Por fim, a abordagem às martingalas, incluindo tempos de paragem e teoremas de convergência (CP4), concretiza o objetivo de explicar a estrutura dessas sequências e aplicar propriedades fundamentais (OA6).

Avaliação / Assessment

A avaliação nesta unidade curricular segue o disposto no RGACC e prevê duas modalidades: Avaliação ao longo do semestre • São realizados dois testes escritos, de caráter individual. • Cada teste tem a ponderação de 50% na classificação final. • É exigida nota mínima de 9,5 valores em cada teste. Caso um dos testes não atinja a nota mínima, o/a estudante não obtém aprovação nesta modalidade. Avaliação por exame • Os/as estudantes que não optem pela avaliação ao longo do semestre ou que não obtenham aprovação nos testes podem apresentar-se a exame. • A prova de exame incide sobre toda a matéria lecionada, sendo obrigatoriamente escrita e de caráter individual, com a possibilidade de realizar prova oral caso se considere necessário um esclarecimento adicional. • A classificação final obtida na avaliação por exame substitui integralmente as classificações dos testes. Os docentes reservam-se o direito de, após a correção do teste, realizar uma conversa com o aluno para confirmar que este detém os conhecimentos demonstrados na prova. São ainda aplicáveis, sempre que pertinente, as disposições do Código de Conduta Académica.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As aulas serão organizadas em dois momentos; o momento de revisão da aula passada; e no de apresentação de novos conceitos. Assim, de ínicio começa-se por rever o conteúdo abordado na(s) aula(s) anterior(es), esclarecendo dúvidas teóricas e na resolução de exercícios. Após esta fase, introduz-se nova matéria de forma expositiva, proporcionando uma visão global dos conceitos, mas sem esperar debates extensos nesse momento. O trabalho autónomo dos estudantes consiste sobretudo na revisão dos conteúdos novos apresentados em aula e na resolução dos exercícios propostos, de forma a chegarem às aulas seguintes com bases sólidas e questões específicas. Este ciclo de exposição, estudo e discussão em sessões seguintes fomenta uma aprendizagem progressiva e participada.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino seguem a estrutura da unidade curricular anterior, aprofundando os conceitos de teoria da medida e probabilidades. As aulas serão organizadas em dois momentos: a revisão do conteúdo lecionado na aula anterior e a introdução de novos conceitos. A revisão inicial permitirá consolidar os tópicos abordados nas aulas anteriores, esclarecer dúvidas e resolver exercícios selecionados, assegurando que os estudantes acompanham a progressão lógica da matéria. Esse momento prepara também a transição para novos conteúdos. A exposição dos novos tópicos dará continuidade ao enquadramento desenvolvido na primeira cadeira, aprofundando e formalizando os conceitos fundamentais da teoria da medida e integração. A ligação entre as duas unidades curriculares será constantemente enfatizada, mostrando como os resultados previamente introduzidos se enquadram numa formulação mais rigorosa. A abordagem adotada prioriza o desenvolvimento teórico, focando-se na demonstração de teoremas e na construção abstrata dos conceitos. A formulação matemática será introduzida de forma progressiva, garantindo que os estudantes compreendam a estrutura lógica dos resultados. O trabalho autónomo dos estudantes continuará a desempenhar um papel essencial, com a resolução sistemática de exercícios para consolidar a aplicação dos conceitos. As listas de exercícios incluirão problemas que exploram tanto aspetos técnicos como a formulação abstrata dos resultados, permitindo uma assimilação mais profunda dos conteúdos. As metodologias adotadas asseguram que os alunos evoluam de forma natural da introdução à teoria da medida feita na primeira cadeira para o estudo formal desta teoria nesta unidade curricular. A progressão dos conteúdos e das atividades de aprendizagem garante que os estudantes adquiram as ferramentas necessárias para avançar para tópicos mais sofisticados em estatística, finanças e processos estocásticos.

Observações / Observations

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Bibliografia Principal / Main Bibliography

Bartle, R. G. The Elements of Integration and Measure. John Wiley & Sons, 1995. Resnick, S. I. A Probability Path. Birkhäuser, 2013. Williams, D. Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991. Notas de aula.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Durrett, R. (2019). Probability: Theory and Examples (5th ed.). Cambridge University Press.

Data da última atualização / Last Update Date

2025-10-28