Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Conhecimentos básicos em probabilidades, de preferência também em estatística, e de equações diferenciais ordinárias.

Objetivos Gerais / Objectives

Esta UC pretende oferecer uma visão geral sobre equações diferenciais estocásticas e suas aplicações. No final desta UC pretende-se que os estudantes adquiram conhecimentos sobre equações diferenciais estocásticas e que estejam capacitados para explorar as equações diferenciais estocásticas e suas aplicações a problemas de modelação de fenómenos dinâmicos.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1: Aplicar os conceitos fundamentais sobre teoria da medida. OA2: Utilizar os conceitos e resultados de teoria de probabilidades. OA3. Conhecer o movimento Browniano e o cálculo estocástico. OA4. Aplicar as equações diferenciais estocásticas a problemas de modelação de fenómenos dinâmicos. OA5. Analisar e discutir possíveis áreas de pesquisa para serem desenvolvidos em projeto. OA6. Adquirir autonomia e pensamento crítico na utilização destes e de outros conceitos, nomeadamente em contexto de sala de aula.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

PC1. Teoria da medida e probabilidades 1.1 Introdução à teoria da medida 1.2 Conceitos probabilísticos PC2. Movimento Browniano e “white noise” 2.1 Motivação e definições 2.2 Construção do movimento browniano PC3. Integrais estocásticos, fórmula de Itô 3.1 Motivação 3.2 Definição e propriedades do integral de Itô 3.3 Fórmula de Itô PC4. Equações diferenciais estocásticas 4.1 Definições e exemplos 4.2 Existência e unicidade das soluções 4.3 Equações diferenciais estocásticas lineares. PC5. Aplicações 5.1 Aplicação de equações diferenciais estocásticas a fenómenos dinâmicos.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

As metodologias de ensino foram selecionadas de forma a corresponder aos objetivos de aprendizagem da UC. Através de uma combinação de momentos de aprendizagem online síncrona e assíncrona, os estudantes irão realizar tarefas com diferentes níveis de apoio e orientação docente, aplicar conhecimentos teóricos e desenvolver competências de resolução de problemas práticos. O docente dará feedback (corretivo e/ou cognitivo) sobre as tarefas desenvolvidas ao longo do semestre. Os estudantes irão realizar um projeto onde, com orientação do docente, os estudantes analisam e discutem possíveis áreas de pesquisa relacionados com os temas abordados, aplicam conhecimentos teóricos e desenvolvem competências de resolução de problemas e pensamento crítico. Como estratégia motivadora, a unidade curricular incluirá a tutoria entre pares ao longo do semestre, onde os estudantes se apoiam mutuamente, partilham conhecimentos e desenvolvem sentido de pertença de comunidade entre si.

Avaliação / Assessment

Avaliação ao longo do semestre: - quatro quizzes online realizados individualmente ao longo do semestre com o peso de 20% na nota final; - trabalho de investigação individual (com entrega de um relatório escrito e uma componente de implementação em python), com o peso de 30% na nota final. O trabalho de investigação deverá aplicar os conhecimentos de equações diferenciais estocásticas abordados na UC e outros instrumentos relevantes para a modelação de fenómenos dinâmicos concretos. - teste final presencial com o peso de 50 % na nota final, com nota mínima de 7,5 valores; - os elementos de avaliação estão sujeitos a discussão. Avaliação por exame (1.ª Época em caso de escolha do estudante, 2.ª Época e Época Especial): Exame presencial (100% da nota final).

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

A UC Análise Estocástica adotará como metodologia de ensino e aprendizagem central a Aprendizagem Baseada em Tarefas, Aprendizagem Baseada em Projetos, combinadas com a Aprendizagem Colaborativa. A Tutoria entre Pares será utilizada como estratégia de motivação e envolvimento dos estudantes. Os estudantes colaboram entre si, onde um dos estudantes com mais conhecimento numa temática irá apoiar o(s) outro(s) colega(s), em modo síncrono ou assíncrono (mensagens, fóruns de discussão). Esta abordagem pedagógica está articulada com o modelo pedagógico do Iscte porque o estudante é considerado um agente ativo no seu processo de aprendizagem, a aprendizagem constrói-se na relação com os pares e docentes, o conhecimento é trabalhado como uma ferramenta para a construção e desenvolvimento de mais conhecimento e aplicado em diversos contextos.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino foram selecionadas de forma a corresponder aos objetivos de aprendizagem da UC. Através de uma combinação de momentos de aprendizagem online síncrona e assíncrona, os estudantes irão realizar tarefas com diferentes níveis de apoio e orientação docente ao longo da UC que lhes permitirá adquirir conhecimentos fundamentais sobre teoria da medida e sobre a teoria das probabilidades baseada na teoria da medida, seguida de uma introdução ao movimento browniano e ao cálculo estocástico de Itô, e finalmente à teoria das equações diferenciais estocásticas. Dá-se mais ênfase à compreensão, que se quer rigorosa, dos conceitos e resultados e à sua aplicação do que propriamente à sua dedução. Procura-se assim minimizar os conhecimentos prévios exigidos aos alunos, sem sacrificar o rigor matemático. O docente dará feedback (corretivo e/ou cognitivo) sobre as tarefas realizadas pelos alunos ao longo do semestre. Desta forma existe conexão direta entre os objetivos de aprendizagem e a aplicação prática dos conceitos e técnicas aprendidas pelos alunos. Paralelamente os estudantes irão realizar um trabalho de investigação onde, com orientação do docente, os estudantes analisam e discutem possíveis áreas de pesquisa para serem desenvolvidos no projeto, aplicam conhecimentos teóricos e desenvolvem competências de resolução de problemas de modelação. Os estudantes irão adquirir autonomia e pensamento crítico na utilização destes e de outros conceitos e na sua utilização em contexto de aula. A interação e colaboração entre os estudantes permite construir conhecimento em conjunto. A participação ativa é incentivada através de discussões e reflexão sobre problemas, visando à criação de uma compreensão partilhada pelo grupo. Como estratégia motivadora, a unidade curricular incluirá a tutoria entre pares ao longo do semestre, onde os estudantes se apoiam mutuamente, partilham conhecimentos e desenvolvem sentido de pertença de comunidade entre si.

Observações / Observations

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Bibliografia Principal / Main Bibliography

"Lawrence C. Evans, “An Introduction to Stochastic Differential Equations”, American Mathematical Society, First edition, 2017. Robert G. Bartle, ""The Elements of Integration and Lebesgue Measure"", Wiley, 2014."

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

"Carlos A. Braumann, “Introdução às equações diferenciais estocásticas e aplicações”, Sociedade Portuguesa de Estatística 2005. Bernt Oksendal, “Stochastic Differential Equations: An introduction with applications”, Springer, sixth edition, 2003."

Data da última atualização / Last Update Date

2025-12-02