Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Conhecimentos de Álgebra Linear, Análise Real e Programação.

Objetivos Gerais / Objectives

Esta unidade curricular tem como objetivo fornecer uma base sólida dos fundamentos da Análise Funcional e da Teoria da Medida e Integração, estabelecendo uma base essencial para as unidades curriculares subsequentes. Os estudantes irão explorar conceitos fundamentais, como a medida de Lebesgue, espaços de Banach e de Hilbert, operadores lineares e o teorema espectral, adquirindo uma compreensão aprofundada sobre estes temas. A unidade curricular irá ainda abordar a teoria clássica das séries e da transformada de Fourier. Ao longo do UC, será incentivado o desenvolvimento do raciocínio matemático e da capacidade de abstração, promovendo uma abordagem rigorosa e estruturada para a modelação e resolução de problemas. Para além da fundamentação teórica, esta unidade curricular enfatiza a implementação computacional e a aplicação dos conceitos estudados em problemas práticos, recorrendo à linguagem de programação Python.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1. Compreender os fundamentos da Teoria da Medida e da Integração de Lebesgue, incluindo os conceitos de mensurabilidade, medida e integração. OA2. Aplicar os conceitos fundamentais de Análise Funcional em espaços de Banach e de Hilbert. OA3. Estudar séries e transformadas de Fourier, analisando as suas propriedades algébricas, analíticas, computacionais e aplicações em diferentes contextos. OA4. Desenvolver o raciocínio matemático e a capacidade de abstração. OA5. Aplicar ferramentas da Análise Funcional e das Transformadas de Fourier na modelação e resolução de problemas em áreas como o processamento de sinais e as equações diferenciais. OA6. Implementar algoritmos computacionais utilizando a linguagem de programação Python.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Teoria da medida e integração - Conjuntos mensuráveis e medida de Lebesgue - Funções mensuráveis - Integral de Lebesgue - Teoremas de convergência - Espaços Lp e desigualdades fundamentais - Teorema de Radon- Nikodym CP2. Espaços de Banach e Espaços de Hilbert - Espaços normados - Completude e espaços de Banach - Dualidade - Teorema de Hahn-Banach - Espaços de Hilbert - Teorema da representação de Riesz - Operadores lineares limitados - Teorema espectral de operadores compactos e auto-adjuntos CP3. Séries e Transformadas de Fourier - Séries de Fourier - Transformada de Fourier - Aplicações: processamento de sinal e equações diferenciais

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

Os CP foram estruturados de forma coerente para garantir que todos os OA sejam alcançados. CP1 está diretamente alinhado com o OA1, proporcionando a base teórica necessária para compreender os conceitos essenciais para a construção da teoria da medida e integração, e com o OA4 pois desenvolve a capacidade de análise e abstração em problemas matemáticos. CP2 sustenta o OA2 e o OA4, pois aborda conceitos fundamentais de Análise Funcional. Este conteúdo contribui também para o OA5, pois permite a implementação computacional de métodos numéricos e aplicações em equações diferenciais e integrais, desenvolvendo competências computacionais aplicadas. CP3 está diretamente ligado ao OA3 e OA4. A introdução das séries de Fourier, juntamente com o estudo das propriedades das transformadas de Fourier, permite que os alunos apliquem essas ferramentas tanto em contextos teóricos quanto computacionais, especialmente em equações diferenciais e processamento de sinais, conforme referido no OA5 e OA6.

Avaliação / Assessment

Avaliação ao longo do semestre: - seis fichas de exercícios individuais ao longo do semestre, com o peso de 20% na nota final; - trabalho individual realizado ao longo do semestre, com entrega de um relatório escrito, uma componente de implementação em Python e apresentação no final do período letivo, com o peso de 30% na nota final; - teste final presencial com o peso de 50 % na nota final, com nota mínima de 8.5 valores; - os elementos de avaliação estão sujeitos a discussão. Avaliação por exame (1.ª Época em caso de escolha do estudante, 2.ª Época e Época Especial): Exame presencial (100% da nota final).

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

A UC Análise Funcional Aplicada adotará como metodologia de ensino e aprendizagem central a Aprendizagem Baseada em Tarefas, combinadas com a Aprendizagem Colaborativa. A Tutoria entre Pares será utilizada como estratégia de motivação e envolvimento dos estudantes. Os estudantes colaboram entre si, onde os estudantes com mais conhecimento numa temática irão apoiar o(s) outro(s) colega(s), em modo síncrono ou assíncrono (mensagens, fóruns de discussão). Esta abordagem pedagógica está articulada com o modelo pedagógico do Iscte porque o estudante é considerado um agente ativo no seu processo de aprendizagem, a aprendizagem constrói-se na relação com os pares e docentes, o conhecimento é trabalhado como uma ferramenta para a construção e desenvolvimento de mais conhecimento e aplicado em diversos contextos.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

A Unidade Curricular (UC) Análise Funcional Aplicada adota metodologias que promovem uma aprendizagem ativa e colaborativa, garantindo a coerência com os objetivos de aprendizagem estabelecidos. Em cada tema dos conteúdos programáticos serão abordados os conceitos teóricos e as suas aplicações práticas, incluindo a implementação computacional, promovendo uma formação abrangente e aplicada em matemática computacional. Através de uma combinação de momentos de aprendizagem online, síncrona e assíncrona, os estudantes irão realizar tarefas com diferentes níveis de apoio e orientação docente ao longo da UC. O docente dará feedback (corretivo e/ou cognitivo) sobre as tarefas realizadas pelos alunos ao longo do semestre. Esta abordagem permitirá que os estudantes estabeleçam relações entre os conhecimentos teóricos (OA1, OA2, OA3, OA4) e práticos (OA5, OA6), melhorando a compreensão e a aplicação dos conceitos. Paralelamente os estudantes irão realizar um trabalho individual onde, com orientação do docente, os estudantes analisam e discutem tópicos avançados, aplicam conhecimentos teóricos (OA1, OA2, OA3, OA4) e desenvolvem competências de resolução de problemas (OA5, OA6). Os estudantes irão adquirir autonomia e pensamento crítico na utilização destes e de outros conceitos e na sua utilização em contexto de aula. A interação e colaboração entre os estudantes permite construir conhecimento em conjunto. A participação ativa é incentivada através de discussões e reflexão sobre problemas (OA5), visando à criação de uma compreensão partilhada pelo grupo. Como estratégia motivadora, a unidade curricular incluirá a tutoria entre pares ao longo do semestre, onde os estudantes se apoiam mutuamente e partilham conhecimentos. Os estudantes mais experientes podem auxiliar os seus colegas, consolidando os conhecimentos e garantindo o desenvolvimento gradual das capacidades analíticas e computacionais (OA4, OA6).

Observações / Observations

.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

"E. M. Stein & R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (1st ed.), Princeton University Press, 2005. ISBN 978-0-691-11386-9 E. M. Stein & R. Shakarchi, Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis (1st ed.) Princeton University Press, 2011. ISBN 978-0-691-11387-6 E. M. Stein & R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (1st ed.) Princeton University Press, 2003. ISBN 978-0-691-11384-5

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

" H . Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (1st ed.), Springer, 2011. ISBN: 978-0-387-70914-7 G. B. Folland, Real Analysis - Modern Techniques and Their Applications (2nd ed.) John Wiley Amp. Sons Inc., 2007. ISBN: 978-0-471-31716-6

Data da última atualização / Last Update Date

2025-12-02