Programa

Licenciatura em Engenharia Informática

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1. Vectores (8 aulas) 1.1 O espaço vectorial R^n. 1.2 Álgebra de vectores: soma e produto por escalares. Propriedades. 1.3 Produto interno e norma. Produto externo. Propriedades e desigualdade de Schwarz. 1.4 Rectas, planos e hiperplanos. Subespaços vectoriais e span. 1.5 Combinação linear de vectores. Notação matricial Ax. 1.6 As aplicações lineares x -> Ax. 1.7 Dependência linear de vectores. 1.7.1 Característica de uma matriz. 1.7.2 Método de eliminação de Gauss. 1.8 Bases e dimensão; coordenadas. 2. Sistemas de equações lineares (3 aulas) 2.1 Intersecção de "planos". 2.2 Matriz de um sistema [A|b]. 2.3 Método de eliminação de Gauss revisitado. 2.4 Classificação. 3. Matrizes (6 aulas) 3.1 Soma e produto por escalares. Propriedades. 3.2 O espaço vectorial M_{n x k}. 3.3 Produto de matrizes. Propriedades. 3.4 Transposição de matrizes. Matrizes simétricas. 3.5 Inversão de matrizes; cálculo de A^{-1}. Propriedades. 3.6 Sistemas de equações lineares na forma matricial Ax=b. 3.7 Aplicação: Grafos e redes. 4. Espaços e subespaços vectoriais (7 aulas) 4.1 A "ideia" de espaço vectorial e exemplos: R^n, M_{n x k}, (Z_2)^n e espaços de funções. 4.2 Definição de subespaço vectorial. 4.3 Espaço das colunas (imagem). 4.4 Espaço nulo (núcleo). 4.5 Combinações lineares, dependência linear, bases e dimensão; coordenadas. 4.6 Teorema da dimensão. 4.7 Aplicação: Teoria de Códigos. 4.8 Equações diferenciais lineares homogéneas de ordem n. 5. Determinantes (3 aulas) 5.1 Áreas e volumes. 5.2 Definição de determinante de uma matriz quadrada. Propriedades. 5.3 Regra de Cramer e cálculo da matriz inversa. 6. Transformações lineares (6 aulas) 6.1 Definição de transformação linear. Exemplos. 6.2 Matriz de uma transformação linear. 6.2.1 Imagem e núcleo revisitados. 6.2.2 Operações matriciais e transformações lineares. 6.3 Mudança de base. 6.4 Matrizes semelhantes. 6.5 Aplicação: Compressão de imagens. 7. Valores e vectores próprios (6 aulas) 7.1 Definição de valores e vectores próprios. Subespaços próprios. 7.2 Diagonalização. 7.3 Cálculo de (A^k)x. Exemplo: números de Fibonacci. 7.4 Matrizes de Markov. 7.5 Exponencial de uma matriz. 7.6 Aplicações aos sistemas de equações diferenciais lineares. 7.7 Formas quadráticas.