Ficha Unidade Curricular (FUC)
Informação Geral / General Information
Carga Horária / Course Load
Área científica / Scientific area
Matemática
Departamento / Department
Departamento de Matemática
Ano letivo / Execution Year
2026/2027
Pré-requisitos / Pre-Requisites
Os estudantes deverão revelar conhecimentos consolidados nas várias áreas de Análise Matemática, Álgebra Linear e Equações diferenciais.
Objetivos Gerais / Objectives
Nesta UC pretende-se dotar os mestrandos da capacidade de resolução de problemas de controlo ótimo lineares e não lineares em espaços de dimensão finita. Os estudantes irão conhecer resultados teóricos fundamentais de controlabilidade e desenvolver a capacidade de resolução de problemas de controlo ótimo concretos aplicados a diversas áreas: por exemplo, engenharia, economia e ciências naturais. Os estudantes irão utilizar ferramentas numéricas adequadas para a resolução de problemas de controlo ótimo, recorrendo ao Matlab/Octave ou Python.
Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes
OA1. Conhecer resultados de controlabilidade para sistemas lineares e não lineares e a sua importância no contexto da teoria do controlo ótimo. OA2. Aplicar conceitos fundamentais da teoria do controlo ótimo e o teorema do Princípio do máximo de Pontryagin a problemas de controlo ótimo em contextos reais. OA3. Conhecer as aplicações práticas da programação dinâmica na resolução de problemas. OA4. Aplicar métodos numéricos adequados para diferentes tipos de problemas de controlo ótimo. OA5. Desenvolver pensamento crítico na utilização dos resultados teóricos e numéricos na resolução de problemas de controlo ótimo aplicados a diferentes áreas.
Conteúdos Programáticos / Syllabus
PC1.Controlabilidade I. Introdução e enquadramento Exemplos clássicos II. Controlabilidade Controlabilidade de sistemas lineares Controlabilidade de sistemas lineares autónomos: caso sem restrições no controlo - condição de Kalman; caso com restrições no controlo Controlabilidade de sistemas lineares não autónomos Controlabilidade de sistemas não lineares PC2.Controlo ótimo I. Existência Teoremas de existência II. Condições necessárias de optimalidade Princı́pio do máximo de Pontryagin Casos particulares e exemplos: problema de tempo mı́nimo; problema linear quadrático; exemplos de controlo ótimo não lineares (problema de Zermelo, problema de Brachistochrone). PC3.Programação dinâmica Conceitos gerais nos contextos discreto e em tempo continuo Algoritmos de programação dinâmica Exemplos PC4. Métodos numéricos para a resolução de problemas de controlo ótimo I. Métodos diretos Algoritmos Exemplos II. Métodos indiretos Algoritmos Exemplos
Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes
As metodologias de ensino foram selecionadas de forma a corresponder aos objetivos de aprendizagem da UC. Através de uma combinação de momentos de aprendizagem online síncrona e assíncrona, os estudantes irão realizar tarefas com diferentes níveis de apoio e orientação docente, aplicar conhecimentos teóricos e desenvolver competências de resolução de problemas práticos. O docente dará feedback (corretivo e/ou cognitivo) sobre as tarefas desenvolvidas ao longo do semestre. Os estudantes irão realizar um projeto onde, com orientação do docente, os estudantes analisam e discutem possíveis áreas de pesquisa relacionados com os temas abordados, aplicam conhecimentos teóricos e desenvolvem competências de resolução de problemas e pensamento crítico. Como estratégia motivadora, a unidade curricular incluirá a tutoria entre pares ao longo do semestre, onde os estudantes se apoiam mutuamente, partilham conhecimentos e desenvolvem sentido de pertença de comunidade entre si.
Avaliação / Assessment
Avaliação ao longo do semestre: - quatro quizzes online realizados individualmente ao longo do semestre com o peso de 20% na nota final; - trabalho de investigação individual (com entrega de um relatório escrito e uma componente de implementação em Matlab/Octave ou Python), com o peso de 30% na nota final. O trabalho de investigação deverá aplicar os conhecimentos da teoria de controlo ótimo abordado na UC e métodos numéricos relevantes para a resolução de problemas de controlo ótimo concretos; - teste final presencial com o peso de 50 % na nota final, com nota mínima de 7,5 valores; - os elementos de avaliação estão sujeitos a discussão. Avaliação por exame (1.ª Época em caso de escolha do estudante, 2.ª Época e Época Especial): Exame presencial (100% da nota final).
Metodologias de Ensino / Teaching methodologies
A UC Controlo ótimo e programação dinâmica adotará como metodologia de ensino e aprendizagem central a Aprendizagem Baseada em Tarefas, Aprendizagem Baseada em Projetos, combinadas com a Aprendizagem Colaborativa. A Tutoria entre Pares será utilizada como estratégia de motivação e envolvimento dos estudantes. Os estudantes colaboram entre si, onde um dos estudantes com mais conhecimento numa temática irá apoiar o(s) outro(s) colega(s), em modo síncrono ou assíncrono (mensagens, fóruns de discussão). Esta abordagem pedagógica está articulada com o modelo pedagógico do Iscte porque o estudante é considerado um agente ativo no seu processo de aprendizagem, a aprendizagem constrói-se na relação com os pares e docentes, o conhecimento é trabalhado como uma ferramenta para a construção e desenvolvimento de mais conhecimento e aplicado em diversos contextos.
Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes
As metodologias de ensino foram selecionadas de forma a corresponder aos objetivos de aprendizagem da UC. A abordagem de cada tema dos conteúdos programáticos seguirá a seguinte estrutura: I) introdução através da contextualização histórica e científica da teoria do controlo ótimo; II) tratamento matemático promenorizado de alguns exemplos essenciais; III) discussão de resultados matemáticos para a resolução analítica e numérica de problemas de controlo ótimo. Através de uma combinação de momentos de aprendizagem online síncrona e assíncrona, os estudantes irão realizar tarefas com diferentes níveis de apoio e orientação docente ao longo da UC que lhes permitirá, numa primeira fase compreender resultados de controlabilidade para sistemas lineares e não lineares. Posteriormente, os estudantes irão explorar teoremas de existência para problemas de controlo ótimo e condições necessárias de optimalidade. Os estudantes irão ainda compreender as aplicações da programação dinâmica na resolução de problemas e os algoritmos para a resolução numérica de problemas de controlo ótimo. O docente dará feedback (corretivo e/ou cognitivo) sobre as tarefas realizadas pelos alunos ao longo do semestre. Esta abordagem permitirá que os estudantes estabeleçam conexões entre os conhecimentos teóricos e práticos, melhorando a compreensão e a aplicação dos conceitos. Paralelamente os estudantes irão realizar um trabalho de investigação (em grupo) onde, com orientação do docente, os estudantes analisam e discutem possíveis áreas de pesquisa para serem desenvolvidos no trabalho, aplicam conhecimentos teóricos e desenvolvem competências de resolução de problemas. Os estudantes irão adquirir autonomia e pensamento crítico na utilização destes e de outros conceitos e na sua utilização em contexto de aula. A interação e colaboração entre os estudantes permite construir conhecimento em conjunto. A participação ativa é incentivada através de discussões e reflexão sobre problemas, visando à criação de uma compreensão partilhada pelo grupo. Como estratégia motivadora, a unidade curricular incluirá a tutoria entre pares ao longo do semestre, onde os estudantes se apoiam mutuamente, partilham conhecimentos e desenvolvem sentido de pertença de comunidade entre si.
Observações / Observations
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Bibliografia Principal / Main Bibliography
"D. P. Bertsekas, Dynamic Programming and Optimal Control (3rd ed), Athena Scientific, 2005, ISBN: 978-1886529267 E. Trélat, Control in finite and infinite dimension. SpringerBriefs PDEs Data Sci., Springer, Singapore, 2024. ISBN 978-981-97-5947-7 https://www.ljll.fr/trelat/fichiers/bookSB.pdf E. Trélat, Contrôle optimal : théorie & applications. Vuibert, Collection ""Mathématiques Concrètes"", 2005, 246 pages. ISBN : 271177175X Pdf file (electronic version, updated in 2023): https://www.ljll.math.upmc.fr/trelat/fichiers/livreopt2.pdf"
Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography
"E. B. Lee, L. Markus, Foundations of optimal control theory, John Wiley and Sons, Inc., New York, London, Sydney, 1967, ISBN: 978-0471522638 J. Miranda Lemos, Controlo no Espaço de Estados, Edição IST - Instituto Superior Técnico, 2019. ISBN: 9789898481702"
Data da última atualização / Last Update Date
2025-12-03