Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Não aplicável

Objetivos Gerais / Objectives

Em diferentes áreas como a gestão, as finanças ou a economia, são necessárias ferramentas importantes da matemática. Em particular o cálculo para funções de uma ou mais variáveis, a otimização e a álgebra linear. Nesta unidade curricular (UC) focamos a atenção no cálculo para funções de uma variável, com o estudo de problemas de otimização envolvendo este tipo de funções. Na UC Matemática I pretende-se que os alunos adquiram o conhecimento e as técnicas fundamentais do cálculo de uma variável, tendo como principal objetivo a compreensão dos conceitos, apresentando-os geométrica, numérica e algebricamente. Em simultâneo, pretende-se transmitir a utilidade do cálculo no contexto da licenciatura em que se insere a UC. Para tal, abordam-se, sempre que possível, aplicações do cálculo a outras áreas, dando particular relevo a da economia.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final desta UC o aluno deverá: OA1: Entender como a ideia de limite surge na resolução de diversos problemas; em particular, compreender o conceito de derivada enquanto limite especial e ferramenta essencial para resolver problemas de taxas de variação, de aproximação de funções e de otimização. AO2: Compreender o integral definido, conceito básico do cálculo integral, e a sua ligação ao cálculo diferencial; conhecer os métodos de integração; saber usar o integral para calcular áreas entre curvas ou determinar o excedente do consumidor. OA3: Saber o que é uma equação diferencial e a sua importância na modulação matemática; saber como obter informação sobre as suas soluções; saber resolver explicitamente algumas equações diferenciais. OA4: Compreender o conceito de série e de convergência de séries; determinar a convergência das séries geométricas, e usá-las para resolver alguns problemas reais, entender a sua importância na representação de funções como somas de séries infinitas.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Limites e Derivadas 1.1. Limite e continuidade de uma função 1.2. Derivadas e taxas de variação, a função derivada 1.3. Regra da Cadeia 1.4. Derivação implícita 1.5. Aproximação linear e diferenciais; polinómios de Taylor 1.6. Aplicações da derivação: extremos, Teorema de Rolle, Teorema do Valor Médio, problemas de otimização CP2. Integrais 2.1. Introdução cálculo integral; primitivas 2.2. Técnicas de integração 2.3. Integral definido, Teorema Fundamental do Cálculo Integral e integral indefinido 2.4. Aplicações dos integrais: áreas, aplicações à economia CP3. Equações Diferencias Ordinárias 3.1. Modelação com equações diferenciais, modelos de crescimento 3.2. Equações separáveis 3.3. Equações lineares, mudança de variável - equações de Bernoulli CP4.Séries 4.1. Sucessões e séries 4.2. Séries geométricas e alguns testes de convergência 4.3. Séries de potências e representações de algumas funções como séries de potências; polinómios de Taylor 4.4. Aplicações de séries à economia

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

Os conteúdos programáticos (CP) são coerentes com os objetivos de aprendizagem (OA) através da sua ligação direta. OA1 centra-se em entender a ideia de limite e o conceito de derivada. CP1 inclui limite e continuidade de uma função, derivadas e taxas de variação, aproximação linear e aplicações, fornecem uma base sólida para que os alunos compreendam os seus fundamentos e saibam aplicá-los. OA2 refere o integral definido e a sua ligação ao cálculo diferencial. O CP2 cobre a introdução ao cálculo integral, técnicas de integração, o teorema fundamental do cálculo integral e aplicações dos integrais, como o cálculo de áreas entre curvas e aplicações. OA3 trata equações diferenciais na modelação matemática, encontra suporte no CP3, onde se discutem a modelação com equações diferenciais, eq. separáveis, e eq. lineares e mudança de variável. OA4 centra-se no conceito de séries e convergência, está alinhado com o CP4, que aborda sucessões e séries, geométricas, de potências e suas aplicações.

Avaliação / Assessment

A nota mínima de aprovação na unidade curricular é de 9.5 valores. Modalidades de avaliação - Os alunos podem optar por uma das seguintes modalidades de avaliação: 1) Avaliação ao longo do semestre, composta por: Assiduidade mínima de 75% das aulas - 27 aulas - cujas presenças são registadas pelos docentes em cada turma Minitestes (25%): 3 minitestes realizados em aula Frequência (75%): prova escrita realizada na 1ª época de avaliação; nota mínima de 8.0 valores. 2) Avaliação por exame: realização de uma prova escrita (com um peso de 100%), na 1ª época ou na 2ª época do período de avaliação. Nota 1: Os alunos repetentes dispõem das mesmas modalidades de avaliação, sujeitas às mesmas regras. Nota 2: Os docentes reservam-se o direito de fazer orais sempre que considerem necessário. Regras da avaliação ao longo do semestre Um aluno é excluído do modo de avaliação ao longo do semestre, passando automaticamente para o modo de avaliação por exame, na seguinte situação: i) Não cumprir a assiduidade mínima de 27 aulas efetivamente lecionadas; ii) Ter obtido nota inferior a 8.0 valores na Frequência. Minitestes (i) São realizados 3 minitestes ao longo do período letivo, a realizar durante as aulas. Cada miniteste tem uma duração máxima de 20 minutos, em data e hora a anunciar e incide sobre a matéria dada anteriormente. (ii) Os alunos têm de realizar os minitestes na turma a que pertencem, não sendo admitido que realizem nas outras turmas. (iii) Para cálculo da nota final nesta componente será feita a média das notas dos 3 minitestes realizados. (iv) Os momentos de avaliação não realizados têm a classificação de 0 valores. (v) Para os alunos que escolham avaliação ao longo do semestre, o resultado final é considerado o melhor entre avaliação ao longo do semestre e avaliação por exame.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Nas aulas teórico-práticas o método de ensino e aprendizagem é, em alguns momentos, expositivo, seguindo-se a resolução prática de exercícios. Na exposição teórica os conceitos são apresentados e acompanhados de exemplos ilustrativos, havendo, sempre que possível, a participação dos alunos na discussão dos conceitos apresentados. O Planeamento da Unidade Curricular (PUC) é um documento disponibilizado aos alunos com o conjunto de exercícios para resolução nas aulas. O método de ensino é participativo e de discussão na resolução dos exercícios. Os alunos são incentivados a pensar os exercícios antes das aulas, existindo mesmo no PUC exercícios propostos para resolução autónoma e, sendo necessário, posterior discussão dessa resolução autónoma, em aula ou em sessão tutorial. Para motivação dos alunos no acompanhamento das aulas e no seu trabalho autónomo, é proposto um processo de avaliação ao longo do semestre, em diferentes momentos, além do exame final. O PUC pretende ser um documento orientador e fundamental no decorrer de todo o semestre contendo informação, semana a semana, dos conteúdos lecionados e dos exercícios a resolver, acompanhados da respetiva referência bibliográfica.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

A metodologia de ensino adotada demonstra uma clara coerência com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular. Nas aulas teórico-práticas, a abordagem expositiva seguida da resolução prática de exercícios permite uma compreensão profunda dos conceitos, alinhando-se diretamente com os objetivos de aprendizagem específicos. A participação dos alunos na discussão dos conceitos apresentados não só promove o entendimento ativo, mas também estimula a aplicação prática dos conhecimentos teóricos, como requerido pelos objetivos. O Planeamento da Unidade Curricular (PUC) desempenha um papel crucial ao fornecer aos alunos um guia estruturado e semanal dos conteúdos lecionados e dos exercícios propostos. Esta abordagem facilita o desenvolvimento autónomo dos alunos, incentivando-os a pensar e resolver exercícios antes das aulas, preparando-os para uma discussão participativa durante as sessões. A inclusão de exercícios para resolução autónoma no PUC não só promove a autonomia do aluno, mas também permite a clarificação de dúvidas e o reforço dos conceitos em ambiente de sala de aula ou sessões tutoriais. No que diz respeito ao processo de avaliação, a estrutura proposta reforça os objetivos de aprendizagem ao longo do semestre. A avaliação ao longo do semestre, composta por minitestes e uma prova escrita, é projetada para avaliar tanto a compreensão contínua dos conceitos quanto a capacidade de aplicação prática dos mesmos. Esta modalidade não só incentiva a presença regular e o empenho dos alunos nas aulas, como também assegura uma avaliação abrangente dos objetivos de aprendizagem estabelecidos. Em conclusão, tanto as metodologias de ensino, centradas na participação ativa dos alunos e na resolução de problemas, quanto o processo de avaliação ao longo do semestre e estruturado, estão alinhados de forma coerente com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular. A integração desses elementos não só facilita a aquisição de conhecimentos teóricos e práticos pelos alunos, como também promove um ambiente de aprendizagem dinâmico e eficaz, cumprindo assim os objetivos educacionais estabelecidos para a UC.

Observações / Observations

Não é permitido o uso de calculadoras nas provas escritas. A consulta dos testes será feita apenas nas datas indicadas pelos docentes. Na consulta dos testes pode haver, pontualmente, alteração da classificação atribuída podendo essa alteração traduzir-se, tanto numa subida da nota como uma descida da nota.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

James Stewart, Cálculo Volume 1 - Tradução de 8ª Edição Norte Americana, 2017, Cengage, ISBN-13: 9788522125845 James Stewart, Cálculo Volume 2 - Tradução de 8ª Edição Norte Americana, 2017, Cengade, ISBN-13: 9788522125845 James Stewart, Calculus, Early Transcendentals, International Metric Edition, 8th Edition, 2017, Cengade Learning, ISBN: 9781305272378

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne Strøm & Andrés Carvajal, Essential Mathematics for Economic Analysis, 5th edition, 2016, Pearson, ISBN-13: 9781292074610 Michael Hoy, John Livernois, Chris Mckenna, Ray Rees & Thanasis Stengos,, Mathematics for Economics, 3rd edition,, 2011, Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, ISBN: 9780262516228

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-24