Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Conhecimentos básicos de teoria de conjuntos, corpo dos reais e funções de uma variável real.

Objetivos Gerais / Objectives

No final deste curso, o estudante deverá ter adquirido as noções, técnicas e principais teoremas da Análise Real de uma variável, compreendendo a sua estrutura lógica e encadeamento. Deverá ser capaz de aplicar esses conceitos na resolução de problemas matemáticos e desenvolver um pensamento analítico rigoroso. Além disso, o estudante deverá demonstrar domínio na formulação e justificação de argumentos matemáticos, incluindo a capacidade de elaborar pequenas demonstrações de propriedades fundamentais.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da UC o aluno deverá ser capaz de : OA1: Compreender e aplicar os conceitos de limite e continuidade de funções reais. OA2: Calcular derivadas e interpretar as suas implicações geométricas e analíticas. OA3: Analisar as propriedades de uma função real e representá-la graficamente. OA4: Conhecer e aplicar os principais métodos de primitivação. OA5: Calcular integrais definidos e indefinidos e interpretar os seus significados. OA6: Compreender a convergência de séries numéricas e representar funções como séries de potências. OA7: Construir e apresentar demonstrações matemáticas elementares com rigor.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1 - Corpo dos reais Propriedades. Axioma do supremo. Indução finita. CP2 - Limites e continuidade Definição de limite. Propriedades. Continuidade e tipos de descontinuidade. CP3 - Sucessões reais Sucessões limitadas. Monotonia. Subsucessões. Sucessões convergentes e limite. Critério de Cauchy. Cálculo de limites. CP4 - Séries numéricas e de potências Convergência. Séries geométricas e de Mengoli. Critérios de convergência. Convergência simples e absoluta. Séries de potências. CP5 - Cálculo diferencial Definição e interpretação da derivada. Cálculo de derivadas, regras de derivação. Teorema de Taylor. Monotonia, concavidade e pontos de inflexão. Representação gráfica de funções. CP6 - Cálculo integral Primitivação imediata, por partes e por substituição. Primitivas de funções racionais. Definição e propriedades do integral de Riemann. Teorema Fundamental do Cálculo. Cálculo de integrais. Aplicação ao cálculo de áreas de figuras geométricas.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

Ao longo da UC, os alunos são expostos a técnicas de demonstração matemática (OA7), desenvolvendo a capacidade de construir argumentos rigorosos. No CP2, estudam-se as propriedades das funções contínuas e as técnicas de cálculo de limites (OA1). No CP3, os alunos aprendem sobre sucessões e séries, incluindo critérios de convergência, fundamentais para a compreensão de séries de potências e sua aplicação à representação de funções (OA6). O CP5 introduz o cálculo diferencial, onde se aprende a calcular derivadas, e a compreender as suas implicações geométricas e analíticas e utilizar estas ferramentas para estudar a monotonia, concavidade e extremos, facilitando a representação gráfica de funções reais (OA2, OA3). No CP6, são apresentados os principais métodos de primitivação (OA4), bem como a definição e interpretação do integral de Riemann. O Teorema Fundamental do Cálculo e a aplicação ao cálculo de áreas garantem que os estudantes saibam calcular e interpretar integrais (OA5).

Avaliação / Assessment

1- Avaliação ao longo do semestre: 2 testes com um peso de 50% cada. Cada teste tem uma nota mínima de 7, 5 valores. A nota final corresponde à média aritmética dos dois testes. 2- Avaliação por exame (1.ª Época em caso de escolha do estudante, 2.ª Época e Época Especial): Exame presencial (100% da nota final). Os docentes reservam-se o direito de, após a correção do teste, realizar uma conversa com o aluno para confirmar que este detém os conhecimentos demonstrados na prova. São ainda aplicáveis, sempre que pertinente, as disposições do Código de Conduta Académica.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Na UC de Análise Matemática I as aulas terão uma componente expositiva, onde são ensinados os conceitos e principais teoremas, e uma parte prática, em que os alunos irão resolver problemas através da aplicação desses conceitos e teoremas. Na parte expositiva serão apresentadas, sempre que possível, as demonstrações dos principais teoremas. Serão facultadas fichas de exercícios para que os alunos possam desenvolver trabalho autónomo e em grupo. Os exercícios apresentam graus de dificuldade variados, indo desde a simples aplicação direta dos métodos aprendidos até à demonstração de pequenos teoremas. Esta abordagem pedagógica está articulada com o modelo pedagógico do Iscte porque o estudante é considerado um agente ativo no seu processo de aprendizagem, a aprendizagem constrói-se na relação com os pares e docentes, o conhecimento é trabalhado como uma ferramenta para a construção e desenvolvimento de mais conhecimento e aplicado em diversos contextos.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino foram selecionadas para garantir a aquisição progressiva dos conhecimentos definidos nos objetivos de aprendizagem da UC. Na parte expositiva, os principais conceitos e teoremas são apresentados e demonstrados, promovendo a compreensão rigorosa dos fundamentos da análise matemática (OA1-OA6). A apresentação de demonstrações matemáticas em aula permite que os alunos desenvolvam a capacidade de estruturar e justificar argumentos matemáticos, consolidando a aprendizagem de técnicas de demonstração (OA7). Na componente prática, os alunos resolvem exercícios que reforçam a aplicação dos conceitos aprendidos, desde cálculos diretos até problemas que exigem raciocínio mais abstrato. Esta abordagem assegura que os estudantes desenvolvam competências na aplicação de limites e continuidade (OA1), cálculo diferencial e representação gráfica de funções (OA2, OA3), cálculo integral e de primitivas (OA4, OA5) e compreensão da convergência de séries numéricas e de potências (OA6). As fichas de exercícios estruturam o trabalho autónomo e colaborativo dos estudantes, permitindo-lhes consolidar a matéria e aplicar os métodos de forma independente. A diversidade dos exercícios garante que os alunos não apenas dominem técnicas de cálculo, mas também compreendam a lógica subjacente aos resultados, incentivando um pensamento matemático mais aprofundado. A interação entre os alunos e a participação ativa nas discussões e resolução de problemas estimulam um ambiente de aprendizagem colaborativo, onde o conhecimento se constrói em conjunto. Esta abordagem garante que os estudantes não apenas adquiram competências técnicas, mas também desenvolvam um raciocínio analítico estruturado, essencial para o aprofundamento em disciplinas subsequentes.

Observações / Observations

--

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Tao, T. (2022). Analysis 1 (4.ª ed.). Texts and Readings in Mathematics 37. Springer. || Campos Ferreira, J. (2011). Introdução à Análise Matemática (11.ª ed.). Fundação Calouste Gulbenkian. || Spivak, M. (2006). Calculus (3.ª ed.). Cambridge University Press. || Sarrico, C. (2005). Análise Matemática (6.ª ed.). Gradiva.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-11-25