Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Conhecimentos básicos de teoria de conjuntos, corpo dos reais e funções de uma variável real.

Objetivos Gerais / Objectives

No final deste curso, o estudante deverá ter adquirido as noções, técnicas e principais teoremas da Análise Real de uma variável, compreendendo a sua estrutura lógica e encadeamento. Deverá ser capaz de aplicar esses conceitos na resolução de problemas matemáticos e desenvolver um pensamento analítico rigoroso. Além disso, o estudante deverá demonstrar domínio na formulação e justificação de argumentos matemáticos, incluindo a capacidade de elaborar pequenas demonstrações de propriedades fundamentais.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da UC o aluno deverá ser capaz de : OA1: Compreender e aplicar os conceitos de limite e continuidade de funções reais. OA2: Calcular derivadas e interpretar as suas implicações geométricas e analíticas. OA3: Analisar as propriedades de uma função real e representá-la graficamente. OA4: Conhecer e aplicar os principais métodos de primitivação. OA5: Calcular integrais definidos e indefinidos e interpretar os seus significados. OA6: Compreender a convergência de séries numéricas e representar funções como séries de potências. OA7: Construir e apresentar demonstrações matemáticas elementares com rigor.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1 - Corpo dos reais Propriedades. Axioma do supremo. Indução finita. CP2 - Limites e continuidade Definição de limite. Propriedades. Continuidade e tipos de descontinuidade. CP3 - Sucessões reais Sucessões limitadas. Monotonia. Subsucessões. Sucessões convergentes e limite. Critério de Cauchy. Cálculo de limites. CP4 - Séries numéricas e de potências Convergência. Séries geométricas e de Mengoli. Critérios de convergência. Convergência simples e absoluta. Séries de potências. CP5 - Cálculo diferencial Definição e interpretação da derivada. Cálculo de derivadas, regras de derivação. Teorema de Taylor. Monotonia, concavidade e pontos de inflexão. Representação gráfica de funções. CP6 - Cálculo integral Primitivação imediata, por partes e por substituição. Primitivas de funções racionais. Definição e propriedades do integral de Riemann. Teorema Fundamental do Cálculo. Cálculo de integrais. Aplicação ao cálculo de áreas de figuras geométricas.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

Ao longo da UC, os alunos são expostos a técnicas de demonstração matemática (OA7), desenvolvendo a capacidade de construir argumentos rigorosos. No CP2, estudam-se as propriedades das funções contínuas e as técnicas de cálculo de limites (OA1). No CP3, os alunos aprendem sobre sucessões e séries, incluindo critérios de convergência, fundamentais para a compreensão de séries de potências e sua aplicação à representação de funções (OA6). O CP5 introduz o cálculo diferencial, onde se aprende a calcular derivadas, e a compreender as suas implicações geométricas e analíticas e utilizar estas ferramentas para estudar a monotonia, concavidade e extremos, facilitando a representação gráfica de funções reais (OA2, OA3). No CP6, são apresentados os principais métodos de primitivação (OA4), bem como a definição e interpretação do integral de Riemann. O Teorema Fundamental do Cálculo e a aplicação ao cálculo de áreas garantem que os estudantes saibam calcular e interpretar integrais (OA5).

Avaliação / Assessment

1 — Avaliação ao longo do semestre: a) Atividades de aprendizagem ativa, realizadas regularmente nas aulas ou na sequência direta do trabalho nelas desenvolvido (35%). Estas atividades têm classificação individual e podem envolver a preparação e discussão de textos, a resolução e explicação de problemas, a resposta a questões, a exploração orientada de ideias matemáticas que serão posteriormente desenvolvidas e a participação no trabalho proposto. A natureza concreta e os critérios de cada atividade serão comunicados previamente aos estudantes. b) Teste final individual, escrito e presencial, realizado na 1.ª época (65%), com nota mínima de 9,0 valores. A classificação de referência desta modalidade corresponde à média ponderada das duas componentes. A avaliação ao longo do semestre exige uma presença mínima em 80% das aulas, sem prejuízo das situações previstas no Regulamento de Estudantes com Estatuto Especial. 2 — Avaliação por exame: exame individual, escrito e presencial, realizado na 1.ª Época, na 2.ª Época ou na Época Especial e incidindo sobre a totalidade dos conteúdos da UC. A classificação obtida no exame corresponde à classificação de referência desta modalidade. Os estudantes com classificação de referência superior ou igual a 9,50 valores, antes do arredondamento, realizam uma prova oral. Na avaliação ao longo do semestre, o docente pode dispensar desta prova os estudantes cujos elementos de avaliação individual permitam confirmar de forma suficiente os conhecimentos demonstrados. Na avaliação por exame, a prova oral é obrigatória para os estudantes com classificação de referência superior ou igual a 9,50 valores. Quando se realiza prova oral, a classificação final corresponde ao menor valor entre a classificação de referência e a classificação obtida na prova oral. Quando não há lugar à realização da prova oral ou quando é concedida dispensa, a classificação final corresponde à classificação de referência. A aprovação na UC exige uma classificação final mínima de 10 valores. São aplicáveis o Regulamento Geral de Avaliação de Conhecimentos e Competências, o Regulamento de Estudantes com Estatuto Especial e o Código de Conduta Académica do Iscte.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Na UC de Análise Matemática I, as aulas combinam momentos de apresentação e sistematização dos conceitos e principais teoremas com uma forte componente de estudo ativo e de participação dos estudantes. Na componente expositiva são introduzidos os conceitos, resultados e métodos fundamentais, apresentando-se, sempre que possível, as demonstrações dos principais teoremas. Esta componente é articulada com atividades em que os estudantes trabalham diretamente os conteúdos, individualmente ou em interação com os colegas e docentes. Pretende-se que os estudantes não se limitem à aplicação mecânica de métodos, mas sejam capazes de explicar o raciocínio seguido, identificar dificuldades e relacionar diferentes conceitos. Serão disponibilizados materiais e fichas de trabalho para apoiar as atividades realizadas nas aulas e o estudo autónomo. A realização regular de atividades de aprendizagem ativa permite acompanhar o progresso dos estudantes, fornecer feedback ao longo do semestre e incentivar uma preparação continuada.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

Os momentos de apresentação e sistematização pelo docente fornecem as bases teóricas necessárias à compreensão dos conceitos de limites, continuidade, sucessões, séries, cálculo diferencial e cálculo integral (OA1–OA6). A apresentação e discussão de demonstrações contribuem para o desenvolvimento da capacidade de construir, explicar e justificar argumentos matemáticos (OA7). As atividades de aprendizagem ativa permitem aos estudantes trabalhar regularmente os conteúdos, aplicar os métodos estudados e explicar o raciocínio seguido. Estas atividades promovem simultaneamente as competências de cálculo e aplicação (OA1–OA6) e a interpretação, argumentação e comunicação matemática (OA7). O feedback dado ao longo do semestre permite identificar dificuldades e orientar o estudo. Os materiais e fichas de trabalho apoiam a consolidação dos conteúdos e o desenvolvimento do trabalho autónomo, com exercícios que podem envolver desde a aplicação direta de métodos até problemas que exigem maior capacidade de análise e argumentação. A componente de avaliação associada às aulas incentiva o estudo regular e permite acompanhar o desenvolvimento das aprendizagens. O teste final avalia a compreensão integrada dos conteúdos e a capacidade de os aplicar de forma autónoma. A prova oral permite confirmar a compreensão dos conceitos e a capacidade de explicar e justificar o raciocínio seguido.

Observações / Observations

Os estudantes são incentivados a utilizar modelos generativos de inteligência artificial, incluindo modelos de linguagem de grande escala (LLMs), como instrumentos de estudo, preparação e aprendizagem. É especialmente incentivada a utilização de modelos concebidos para a tutoria no ensino da matemática e do modelo disponibilizado no âmbito da UC. A utilização destas ferramentas não é permitida nos momentos de avaliação individual, escrita e presencial, nem em outros momentos em que essa restrição seja expressamente indicada. Nas restantes situações, a sua utilização é permitida e encorajada, de acordo com as indicações dadas para cada atividade. Quando a inteligência artificial seja utilizada na preparação de um elemento entregue para avaliação, o estudante deve identificar de forma clara como a utilizou, mantendo a responsabilidade pela correção, pelas fontes utilizadas e pela compreensão do conteúdo apresentado. Os conhecimentos demonstrados em elementos preparados com apoio de inteligência artificial podem ser confirmados através de discussão ou prova oral, prevalecendo a apreciação oral na avaliação da compreensão do estudante.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Tao, T. (2022). Analysis 1 (4.ª ed.). Texts and Readings in Mathematics 37. Springer. Campos Ferreira, J. (2011). Introdução à Análise Matemática (11.ª ed.). Fundação Calouste Gulbenkian. Spivak, M. (2006). Calculus (3.ª ed.). Cambridge University Press. Sarrico, C. (2005). Análise Matemática (6.ª ed.). Gradiva.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-11-25