Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Conhecimento de espaços vectoriais, cálculo diferencial e integral de funções de uma variável real.

Objetivos Gerais / Objectives

No final desta unidade curricular, o estudante deverá ter adquirido as noções, técnicas e principais teoremas da Análise Real em várias variáveis, compreendendo a sua estrutura lógica e encadeamento. Em particular, deverá dominar o cálculo diferencial e integral em R^n, sabendo aplicar esses conceitos na resolução de problemas matemáticos. Além disso, o estudante deverá demonstrar domínio na formulação e justificação de argumentos matemáticos, incluindo a capacidade de elaborar pequenas demonstrações de propriedades fundamentais.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da unidade curricular, o estudante deverá ser capaz de: OA1: Compreender e aplicar os conceitos de limite e continuidade para funções de várias variáveis. OA2: Calcular derivadas direcionais e parciais de várias ordens, interpretar o gradiente e compreender a diferenciabilidade. OA3: Aplicar as principais técnicas do cálculo diferencial, incluindo a regra da cadeia e os teoremas da função inversa e implícita. OA4: Analisar e representar curvas e superfícies, compreendendo a sua parametrização. OA5: Calcular integrais múltiplos e interpretar as suas aplicações geométricas. OA6: Compreender e aplicar os conceitos de integrais de linha e de superfície, incluindo as principais teoremas associados. OA7: Construir e apresentar demonstrações matemáticas elementares com rigor.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1 - Espaços Euclideanos Revisão de espaços vetoriais. Norma e produto interno. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Conceitos básicos de topologia em R^n. CP2 - Limites e continuidade Definição de limite em R^n. Propriedades dos limites. Continuidade para funções de várias variáveis. CP3 - Cálculo diferencial em R^n Derivadas direcionais e parciais. Gradiente e diferenciabilidade. Regra da cadeia. Teoremas da função inversa e da função implícita. Derivadas de ordem superior. Matriz Hessiana e Teorema de Schwarz. CP4 - Cálculo integral em R^n Introdução à teoria da medida e ao integral de Riemann. Teorema de Fubini e mudança de variável. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Integrais múltiplos e suas aplicações geométricas. CP5 - Integrais de linha e de superfície Definição e propriedades dos integrais de linha e de superfície. Parametrização de curvas e superfícies. Aplicações aos teoremas fundamentais do cálculo vetorial.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

No CP1, revêm-se conceitos fundamentais de topologia em Rn, fornecendo a base necessária para o estudo de continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis (OA1). No CP2, são introduzidas as definições de limite e continuidade (OA1). No CP3, o estudo do cálculo diferencial em Rn permite aos alunos calcular derivadas direcionais e parciais, compreender o gradiente e a diferenciabilidade (OA2). Além disso, a regra da cadeia e os teoremas da função inversa e implícita são fundamentais para o domínio das técnicas de derivação em várias variáveis (OA3). No CP4, introduz-se o cálculo integral em Rn, incluindo o Teorema de Fubini e a mudança de variável (OA5). No CP5, são abordados os integrais de linha e de superfície, juntamente com a parametrização de curvas e superfícies, assegurando que os estudantes compreendam a sua formulação e aplicações (OA4, OA6). Ao longo de toda a unidade curricular, os alunos são expostos a demonstrações matemáticas rigorosas (OA7).

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores numa das modalidades: - Avaliação ao longo do semestre v1: 2 Testes Escritos (40% cada) + participação nas aulas (20%). - Avaliação ao longo do semestre v2: Exame Final (80%) + participação nas aulas (20%). - Avaliação por Exame (100%), em qualquer uma das épocas de exame. Algumas observações e regras: - Os testes escritos têm uma nota mínima de 8.0 valores em 20. - Os trabalhadores estudantes, devidamente registados como tal no fenix+, podem realizar a "Avaliação ao longo do semestre v1" sem a componente de participação na aula. Nesse caso, os testes valem 50% cada. - Na Avaliação ao longo do semestre v2 o Exame tem nota mínima de 8.0 valores em 20. - A avaliação da participação na aula tem um componente individual e uma componente de grupo. - Classificações finais iguais ou superiores a 19 valores podem estar sujeitas a uma defesa de nota. - Todos os momentos de avaliação podem ser sujeitos a um reavaliação oral e presencial, caso seja necessário clarificar algum aspeto da avaliação em causa. Esta reavaliação pode alterar parcial ou totalmente o resultado da avaliação em causa.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Na unidade curricular de Análise Matemática II, as aulas terão uma componente expositiva, onde são apresentados os conceitos fundamentais e os principais teoremas, e uma componente prática, onde os estudantes resolvem problemas através da aplicação dos conceitos e métodos ensinados. Sempre que possível, serão apresentadas as demonstrações dos principais teoremas, promovendo o desenvolvimento do rigor matemático. Serão facultadas listas de exercícios, retirados maioritariamente da bibliografia principal, para que os estudantes possam desenvolver trabalho autónomo e em grupo. Os exercícios terão níveis de dificuldade variados, desde a aplicação direta dos métodos até problemas que exigem a formulação de pequenas demonstrações. Na última aula de cada semana os alunos devem resolver alguns destes exercícios no quadro. Esta resolução será avaliada. Esta abordagem pedagógica está alinhada com o modelo do Iscte, que considera o estudante um agente ativo no seu processo de aprendizagem. A aprendizagem constrói-se na interação entre pares e docentes, utilizando o conhecimento como ferramenta para o desenvolvimento de novas competências e a sua aplicação em diferentes contextos.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino foram estruturadas para garantir a aquisição progressiva dos conhecimentos definidos nos objetivos de aprendizagem da unidade curricular. Na componente expositiva, são apresentados e demonstrados os principais conceitos e teoremas, permitindo que os estudantes compreendam com rigor os fundamentos da Análise Matemática a várias variáveis (OA1–OA6). A introdução de demonstrações matemáticas nas aulas contribui para o desenvolvimento da capacidade de estruturar e justificar argumentos matemáticos, reforçando a aprendizagem das técnicas de demonstração (OA7). Na componente prática, os estudantes resolvem exercícios que os ajudam a consolidar a aplicação dos conceitos abordados. Os exercícios incluem desde cálculos diretos até problemas que exigem um raciocínio mais abstrato, garantindo o desenvolvimento das competências necessárias para o cálculo diferencial (OA2, OA3), a representação e parametrização de curvas e superfícies (OA4) e o cálculo integral em várias variáveis, incluindo integrais múltiplos, de linha e de superfície (OA5, OA6). As fichas de exercícios incentivam o trabalho autónomo e colaborativo, permitindo aos estudantes consolidar a matéria e aplicar os métodos de forma independente. A diversidade dos exercícios garante que os estudantes não apenas dominem as técnicas de cálculo, mas também compreendam a lógica subjacente aos resultados, desenvolvendo um pensamento matemático mais estruturado. A interação entre os estudantes e a participação ativa na discussão e resolução de problemas fomentam um ambiente de aprendizagem colaborativo, onde o conhecimento se constrói coletivamente. Assim, a unidade curricular não apenas assegura a aquisição das competências técnicas necessárias, mas também promove o desenvolvimento de um raciocínio analítico rigoroso, essencial para o aprofundamento de estudos em matemática e áreas afins.

Observações / Observations

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Bibliografia Principal / Main Bibliography

Marsden and Tromba, "Vector Calculus", W. H. Freeman.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Lages Lima, "Análise no Rn", IMPA.

Data da última atualização / Last Update Date

2026-08-06