Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Nenhum

Objetivos Gerais / Objectives

No final deste curso o aluno deverá ter adquirido formação básica em álgebra linear, particularmente na teoria de matrizes e sua aplicação à resolução de sistemas de equações lineares e no estudo dos endomorfismos (funções lineares de um espaço vetorial em si próprio). Deverá também ter adquirido conhecimentos básicos de séries numéricas reais.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1. Compreender a linguagem vetorial e matricial e sua aplicação à resolução e classificação de sistemas de equações lineares. OA2. Compreender a linguagem matricial e operações com matrizes. OA3. Compreender o conceito de determinante e suas aplicações ao cálculo de áreas, volumes e resolução de sistemas de certas equações lineares. OA4. Reconhecer espaços vetoriais abstratos como subespaços de R^n, a menos de isomorfismo, e compreender funções lineares e em particular endomorfismos. OA5. Compreender e calcular valores e vetores próprios. Determinar a matriz diagonal semelhante a uma matriz diagonalizável. OA6. Compreender o conceito de série numérica real e aplicar critérios de convergência.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP 1. Vetores e sistemas de equações lineares - O espaço vetorial R^n. Combinação e dependência linear. - Notação AX = B. Sistemas de equações lineares. Método de eliminação de Gauss. - Subespaços vetoriais. - Base e dimensão. Coordenadas de um vetor. - Produto interno e norma. Ortogonalidade. CP 2. Matrizes - O espaço das matrizes. Álgebra das matrizes. - Inversão de matrizes. - Aplicação aos sistemas de equações lineares AX = B. CP 3. Determinantes - Definição e propriedades. Áreas e volumes. - Regra de Cramer e cálculo da matriz inversa. CP 4. Funções lineares - Definição. Imagem e núcleo. - Matriz de uma função linear. Teorema da dimensão. - Matrizes semelhantes e mudança de base. CP 5. Valores e vetores próprios - Valores e vetores próprios. Subespaços próprios. - Diagonalização e aplicações. CP 6. Séries numéricas - Defnição e exemplos. - Séries de termos não negativos. - Séries de termo geral sem sinal fixo. Convergência absoluta. - O espaço l^2(R).

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

Os conteúdos estão organizados de forma integrada. A exposição parte de conceitos familiares aos alunos (vetores no plano e no espaço), prosseguindo depois para conceitos mais abstratos da álgebra linear. Os conteúdos programáticos estão alinhados com os objetivos de aprendizagem da disciplina de forma coerente e abrangente. Desde a compreensão da linguagem vetorial e matricial até à aplicação em sistemas de equações lineares (OA 1 e CP 1), passando pela álgebra das matrizes e inversão (OA 2 e CP 2), até ao estudo de determinantes e suas aplicações (OA 3 e CP 3), os conteúdos fornecem uma base sólida. Também são abordados espaços vetoriais abstratos, funções lineares e endomorfismos (OA 4 e CP 4), valores e vetores próprios (OA 5 e CP 5), e séries numéricas com critérios de convergência (OA 6 e CP 6), proporcionando aos alunos tanto o conhecimento teórico quanto as competências práticas necessárias para resolver problemas matemáticos complexos.

Avaliação / Assessment

Existem duas modalidades de avaliação: 1. Avaliação ao longo do semestre, composta por: - Teste 1 (50%): prova escrita realizada durante o semestre; nota mínima de 8 valores. - Teste 2 (50%): prova escrita realizada na 1ª época de avaliação; nota mínima de 8 valores. 2. Avaliação por exame: realização de um exame (com um peso de 100%), na 1ª época ou na 2ª época do período de avaliação. A nota mínima de aprovação na unidade curricular é de 9.5 valores.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As aulas são teórico-práticas, com um método de ensino expositivo acompanhado de exemplos ilustrativos, e resolução de exercícios. As aulas teórico-práticas estão detalhadas na PUC, um documento orientador fundamental para ajudar o aluno na organização do seu trabalho autónomo. Nele está descrito o programa aula a aula, bem como os materiais que deverá ler. Estão ainda previstos horários de atendimento semanais aos alunos de modo a poderem esclarecer dúvidas sobre a matéria.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As aulas teórico-práticas abrangem todos os objetivos conceptuais de aprendizagem, fundamentais para a compreensão dos diferentes conteúdos programáticos. As aulas práticas permitem testar e aplicar os conhecimentos adquiridos nas aulas teórico-práticas, mediante a resolução de exercícios, abrangendo assim os restantes objetivos de aprendizagem. Para solidificar os conteúdos aprendidos em aula, o aluno necessita de realizar trabalho autónomo.

Observações / Observations

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Sérgio Mendes, [1] Apoio teórico fornecido pelos docentes., 2023, Sérgio Mendes, [2] Caderno de exercícios fornecido pelos docentes., 2023, T.S. Blyth and E.F. Robertson, [3] Basic Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2009, J. Campos Ferreira, [4] Introdução à Análise Matemática (6ª edição) Gulbenkian, 1995.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

C. W. Curtis, [5] Linear Algebra: An Introductory Approach, Springer, 1984, S. J. Leon, [6] Linear Algebra and Applications, Person, 2015.

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-23