Ficha Unidade Curricular (FUC)
Informação Geral / General Information
Carga Horária / Course Load
Área científica / Scientific area
Matemática
Departamento / Department
Departamento de Matemática
Ano letivo / Execution Year
2023/2024
Pré-requisitos / Pre-Requisites
Noções básicas de: conjuntos, sucessões reais, funções reais de variável real, limites, continuidade, diferenciabilidade e integral de Riemann.
Objetivos Gerais / Objectives
Esta unidade curricular pretende dotar os alunos que frequentam este ciclo de estudos de ferramentas básicas e conceitos fundamentais da análise real, que vão para além da manipulação de fórmulas. Por um lado, estas ferramentas são pré-requisitos para a realização de outras UCs que integram o mestrado (nomeadamente, Teoria da Medida, Otimização ou Equações com Derivadas Parciais). Por outro, são ferramentas mínimas indispensáveis em qualquer área onde a matemática desempenha um papel fundamental.
Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes
No final desta UC o aluno deverá ser capaz de compreender: OA1. porque o corpo dos números reais é mais "adequado" para discutir os conceitos básicos da Análise Real; OA2. os conceitos básicos de topologia; OA3. o conceito de convergência de sucessões e o de sucessões de Cauchy; o conceito de série convergente e determinar convergência de séries de potências; OA4. as noções de limite e continuidade de funções reias e os principais teoremas de continuidade; OA5. o conceito de diferenciabilidade de f.r.v.r. e os principais teoremas do Valor Médio; o conceito de integral de Riemann e da sua relação com diferenciabilidade; OA6. sucessão/série de funções reais e passagem ao limite ou à função soma; convergências pontual e uniforme;
Conteúdos Programáticos / Syllabus
CP1. Os números reais: conjuntos ordenados; corpos; o corpo dos números reais. CP2. Noções básicas de topologia: potências de conjunto; espaços métricos; conjuntos compactos. CP3. Sucessões numéricas e séries: convergência; subsucessões; sucessões de Cauchy; séries; alguns critérios de convergência; séries de potências. CP4. Continuidade: limites e continuidade de funções entre espaços métricos; continuidade e topologia. CP5. Derivação: derivada de uma função real; teoremas fundamentais. CP6. Integral de Riemann: definição e propriedades; integração e derivação. CP7. Sucessões e séries de funções: convergência uniforme; relações da continuidade uniforme com continuidade, integração e derivação.
Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes
A demonstração de coerência decorre da interligação dos conteúdos programáticos com os objectivos de aprendizagem (OA), como a seguir se explicita: OA1 - CP1 OA2 - CP2 OA3 - CP3 OA4 - CP4 OA5 - CP5, CP6 OA6 - CP7
Avaliação / Assessment
A UC contempla um processo de avaliação periódica e que integra os seguintes instrumentos de avaliação: 1. Duas fichas de exercícios (FE), com questões de carácter teórico-prático, (com a sua média a valer 30%). 2. Exame final ou trabalho de grupo (2 alunos) com apresentação oral em tema a combinar (70%). Observação: Para aprovação a nota mínima no Exame Final é de 8,0 val.
Metodologias de Ensino / Teaching methodologies
Para a aquisição destas competências serão utilizadas as seguintes metodologias de ensino-aprendizagem (ME): ME1. Expositivas, para apresentação dos quadros teóricos de referência ME2. Participativas, com análise e resolução de exemplos práticos ME3. Estudo autónomo.
Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes
As metodologias de ensino-aprendizagem visam o desenvolvimento das principais competências de aprendizagem dos alunos que permitam cumprir com cada um dos objectivos de aprendizagem, pelo que, na grelha a seguir, apresenta-se as principais interligações entre as metodologias de ensino-aprendizagem e os respectivos objectivos. ME1. OA1 - OA6 ME2. OA1 - OA6 ME3. OA1 - OA6
Observações / Observations
Toda a documentação necessária ao acompanhamento dos conteúdos lecionados na unidade curricular será disponibilizada aos alunos.
Bibliografia Principal / Main Bibliography
Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2015, 1, - S. Mendes, Tópicos de Análise Real (Notas de apoio às aulas), 2021. - J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 11ª Edição, 2014. - W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, Third Edition, 1976. - Curso Elementar de Equações Diferenciais, Miguel Ramos,Textos de Matemática do DMFCUL, 2000.
Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography
Data da última atualização / Last Update Date
2024-02-16