Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Noções básicas de: conjuntos, sucessões reais, funções reais de variável real, limites, continuidade, diferenciabilidade e integral de Riemann.

Objetivos Gerais / Objectives

Esta unidade curricular pretende dotar os alunos de ferramentas básicas e conceitos fundamentais da análise real, que vão para além da manipulação de fórmulas. Por um lado, estas ferramentas são pré-requisitos para a realização de outras UCs que integram o mestrado (nomeadamente, Teoria da Medida, Otimização ou Equações com Derivadas Parciais). Por outro, são ferramentas mínimas indispensáveis em qualquer área onde a matemática desempenha um papel fundamental, nomeadamente em Matemática Financeira.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1: Entender a estrutura e propriedades dos números e das funções reais e a importância destas nas aplicações matemáticas. OA2: Aprimorar capacidades de relacionar e integrar diferentes conceitos matemáticos, como limites, continuidade, diferenciabilidade e integração. OA3: Desenvolver a competência para aplicar conceitos matemáticos elementares na análise e resolução de problemas complexos e abstratos, empregando princípios fundamentais para abordar questões mais avançadas.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1. Os números reais: conjuntos ordenados; corpos; o corpo dos números reais. CP2. Noções básicas de topologia: potências de conjunto; espaços métricos; conjuntos compactos. CP3. Sucessões numéricas e séries: convergência; subsucessões; sucessões de Cauchy; séries; alguns critérios de convergência; séries de potências. CP4. Continuidade: limites e continuidade de funções entre espaços métricos; continuidade e topologia. CP5. Derivação: derivada de uma função real; teoremas fundamentais. CP6. Integral de Riemann: definição e propriedades; integração e derivação. CP7. Sucessões e séries de funções: convergência uniforme; relações da continuidade uniforme com continuidade, integração e derivação.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

OA1 é atingido através de CP1, que detalha a estrutura dos números reais, e CP4, que explora limites e continuidade das funções, essenciais para compreender sua aplicação matemática. Para o OA2 introduzimos as noções topológicas necessárias em CP2 que são também fundamentais para entender continuidade e limites. Os CP5 e CP6, aprofundam as noções de diferenciabilidade e integração, facilitando a relação entre estes conceitos matemáticos. Finalmente, OA3 é suportado por CP3 e CP7, que discutem sucessões e séries e sua convergência, permitindo a aplicação de conceitos fundamentais a problemas complexos e abstratos. CP1, CP2, CP4, CP5, e CP6 fornecem a base teórica necessária para enfrentar questões avançadas.

Avaliação / Assessment

Os alunos podem optar por uma das seguintes modalidades de avaliação: Avaliação ao longo do semestre: 1. Quatro fichas de exercícios (FE), com questões de carácter teórico-prático, (com a média dos 3 melhores a valer 40%). 2. Teste final ou trabalho de grupo (2 alunos) com apresentação oral em tema a combinar (60%). Avaliação por Exame: Prova escrita (100%), incidindo sobre toda a matéria lecionada na unidade curricular. Observação: - Para aprovação a nota mínima no teste final é de 8,5 val. - Os professores responsáveis reservam-se o direito de fazer orais sempre que considerem necessário.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

ME1: Aulas Teóricas Na fase inicial, focamos em aulas teóricas. O professor apresenta os conceitos fundamentais, definições, teoremas e demonstrações chave da análise real, usando resumos do livro e quadro. Os alunos são incentivados a participar e discutir os conceitos. ME2: Aplicação Prática Após a introdução teórica, a ênfase é na resolução de exercícios práticos. Os alunos resolvem exercícios individualmente e em grupo, dentro e fora da sala de aula, seguindo o Planeamento da Unidade Curricular (PUC). O professor está presente para esclarecer dúvidas. ME3: Estudo Autónomo O estudo autónomo é crucial para fomentar a responsabilidade. Os alunos devem resolver exercícios adicionais e ler a bibliografia recomendada. Apoio Semanal Haverá sessões de atendimento semanal para discutir dificuldades específicas e orientar na resolução de problemas complexos.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

A metodologia ME1 (Aulas Teóricas) é essencial para alcançar todos os objetivos de aprendizagem. Ao apresentar os conceitos fundamentais da análise real, ME1 estabelece uma base sólida para OA1, ajudando os alunos a entender a estrutura e as propriedades dos números reais e funções. Além disso, a compreensão desses conceitos permite que os alunos integrem limites, continuidade e diferenciabilidade, alinhando-se assim com OA2. Esta metodologia também prepara os alunos para aplicar conceitos em problemas complexos e abstratos, como exposto em OA3. A ME2 (Aplicação Prática) é igualmente crucial, pois promove a aplicação direta dos conceitos aprendidos. Através da resolução de exercícios e problemas, os alunos podem aplicar a teoria em contextos práticos, abordando OA1 e OA2 ao relacionar e integrar conceitos matemáticos. Essa abordagem prática também é fundamental para OA3, pois permite que os alunos utilizem princípios básicos em problemas práticos mas mais complexos e desafiadores. A ME3 (Estudo Autónomo) complementa os anteriores ao permitir que os alunos aprofundem a sua compreensão de forma independente. Este estudo adicional é vital para a exploração e compreensão dos conceitos fundamentais apresentados em ME1, e suporta todos os objetivos de aprendizagem. O apoio semanal oferece um suporte adicional, permitindo que os alunos discutam dificuldades e esclareçam dúvidas específicas. Isso assegura que as necessidades individuais sejam atendidas, ajudando os alunos a integrar e aplicar os conceitos abordados em OA1, OA2 e OA3 de forma mais eficaz.

Observações / Observations

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2015, 1, - S. Mendes, Tópicos de Análise Real (Notas de apoio às aulas), 2021. - J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 11ª Edição, 2014. - W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, Third Edition, 1976. - Curso Elementar de Equações Diferenciais, Miguel Ramos,Textos de Matemática do DMFCUL, 2000.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-30