Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Conhecimentos básicos de Álgebra Linear, Cálculo Diferencial e Integral.

Objetivos Gerais / Objectives

Dotar os mestrandos de uma base sólida na área das equações diferenciais e da sua aplicabilidade na construção de modelos matemáticos. Desenvolver, tanto a um nível teórico como ao nível da sua implementação (em Python), conceitos-chave e técnicas matemáticas para a resolução de equações diferenciais.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1. Conhecer a importância das equações diferenciais na modelação matemática, e saber modelar sistemas simples. OA2. Desenvolver a capacidade de classificação de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e dos métodos apropriados para a sua resolução. OA3. Aplicar as técnicas discutidas na resolução de EDOs e avaliar o comportamento das soluções obtidas. OA4. Conhecer e classificar Equações Diferenciais Parciais (EDPs) de segunda ordem. OA5. Aplicar separação de variáveis e séries de Fourier para resolver EDPs de segunda ordem. OA6. Aplicar métodos numéricos na resolução de EDOs e EDPs em Python.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

I - Modelação Matemática. 1. Uso de equações diferenciais na construção de modelos. 2. Exemplos clássicos de modelos dinâmicos e de equilibrio. 3. Classificação de equações diferenciais. II - Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). 1. Exemplos notáveis de EDOs. 2. Existência e unicidade de solução (Picard-Lindelöf). 3. EDOs de primeira ordem. 4. Métodos qualitativos de resolução de EDOs autónomas. 5. Equilíbrio e estabilidade. 6. Sistemas EDOs. 7. EDOs lineares de ordem superior. 8. Equação homogénea, equação característica, e o método da variação das constantes. 9. Métodos numéricos para a resolução de EDOs (Euler e Runge-Kutta). III - Equações Diferenciais Parciais (EDPs). 1. Exemplos notáveis de EDPs. 2. Classificação de EDPs (calor, ondas, Laplace). 3. Separação de variáveis. 4. Séries de Fourier e convergência. 5. Transformada de Laplace. 6. Resolução numérica da equação do calor por diferenças finitas.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

As metodologias de ensino foram selecionadas de forma a corresponder aos objetivos de aprendizagem da UC. Através de uma combinação de momentos de aprendizagem online síncrona e assíncrona, os estudantes irão realizar tarefas com diferentes níveis de apoio e orientação docente, aplicar conhecimentos teóricos e desenvolver competências de resolução de problemas práticos. O docente dará feedback (corretivo e/ou cognitivo) sobre as tarefas desenvolvidas ao longo do semestre. Os estudantes irão realizar um projeto onde, com orientação do docente, os estudantes analisam e discutem possíveis áreas de pesquisa relacionados com os temas abordados, aplicam conhecimentos teóricos e desenvolvem competências de resolução de problemas e pensamento crítico. Como estratégia motivadora, a unidade curricular incluirá a tutoria entre pares ao longo do semestre, onde os estudantes se apoiam mutuamente, partilham conhecimentos e desenvolvem sentido de pertença de comunidade entre si.

Avaliação / Assessment

Avaliação ao longo do semestre: - 3 fichas de exercícios realizadas ao longo do semestre com o peso de 60% na nota final (20% cada ficha), realizadas individualmente; - 2 trabalhos de investigação individual realizado ao longo do semestre (com entrega de um relatório escrito e uma componente de implementação em Python), com o peso de 40% (20% cada) na nota final. As resoluções apresentadas estão sujeitas a discussão. Avaliação por exame (1.ª Época em caso de escolha do estudante, 2.ª Época e Época Especial): Exame presencial (100% da nota final).

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

A UC Modelação Matemática e Equações Diferenciais adotará como metodologia de ensino e aprendizagem central a Aprendizagem Baseada em Tarefas, Aprendizagem Baseada em Projetos, combinadas com a Aprendizagem Colaborativa. A Tutoria entre Pares será utilizada como estratégia de motivação e envolvimento dos estudantes. Os estudantes colaboram entre si, onde um dos estudantes com mais conhecimento numa temática irá apoiar o(s) outro(s) colega(s), em modo síncrono ou assíncrono (mensagens, fóruns de discussão). Esta abordagem pedagógica está articulada com o modelo pedagógico do Iscte porque o estudante é considerado um agente ativo no seu processo de aprendizagem, a aprendizagem constrói-se na relação com os pares e docentes, o conhecimento é trabalhado como uma ferramenta para a construção e desenvolvimento de mais conhecimento e aplicado em diversos contextos.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino foram selecionadas de forma a corresponder aos objetivos de aprendizagem da UC. A abordagem de cada tema dos conteúdos programáticos seguirá a seguinte estrutura: I) Modelação Matemática; II) Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs); III) Equações Diferenciais Parciais (EDPs). Através de uma combinação de momentos de aprendizagem online síncrona e assíncrona, os estudantes irão realizar tarefas com diferentes níveis de apoio e orientação docente ao longo da UC que lhes permitirá, numa primeira fase compreender a utilização de equações diferenciais na construção de modelos matemáticos. Posteriormente, os estudantes irão explorar um conjunto importante de resultados sobre equações diferenciais ordinárias. Os estudantes irão ainda compreender equações diferenciais parciais, explorando aplicações importantes e a sua resolução numérica. O docente dará feedback (corretivo e/ou cognitivo) sobre as tarefas realizadas pelos alunos ao longo do semestre. Esta abordagem permitirá que os estudantes estabeleçam conexões entre os conhecimentos teóricos e práticos, melhorando a compreensão e a aplicação dos conceitos. Paralelamente os estudantes irão realizar um trabalho de investigação onde, com orientação do docente, os estudantes analisam e discutem possíveis áreas de pesquisa para serem desenvolvidos no trabalho, aplicam conhecimentos teóricos e desenvolvem competências de resolução de problemas. Os estudantes irão adquirir autonomia e pensamento crítico na utilização destes e de outros conceitos e na sua utilização em contexto de aula. A interação e colaboração entre os estudantes permite construir conhecimento em conjunto. A participação ativa é incentivada através de discussões e reflexão sobre problemas, visando à criação de uma compreensão partilhada pelo grupo. Como estratégia motivadora, a unidade curricular incluirá a tutoria entre pares ao longo do semestre, onde os estudantes se apoiam mutuamente, partilham conhecimentos e desenvolvem sentido de pertença de comunidade entre si.

Observações / Observations

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Bibliografia Principal / Main Bibliography

"1. William E. Boyce and Richard C. di Prima, “Elementary Differential Equations”, 10th edition, John Wiley & Sons (2012). 2. Martin Braun, “Differential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics”, 4th edition, Springer (1993). 3. Pedro M. Girão, “Introdução à Análise Complexa, Séries de Fourier e Equações Diferenciais”, 2ª edição, IST press (2022). 4. Richard L. Burden and J. Douglas Faires, “Numerical Analysis”, Brooks/Cole, Cengage Learning (2010)."

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Data da última atualização / Last Update Date

2025-12-02