Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Os alunos devem estar familiarizados com os conceitos centrais e técnicas básicas dos tópicos "Sucessões de números reais" e "Funções de variável real", estudados na escola secundária, nomeadamente, no que respeita a limites, monotonia, continuidade e derivação de funções. Devem ainda ter experiência na manipulação de polinómios e conhecer as propriedades fundamentais das funções trigonométricas, da função exponencial e da função logaritmo.

Objetivos Gerais / Objectives

Apreender os conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral a uma variável, essenciais à formulação e tratamento de problemas colocados no âmbito da ciência dos dados. Usar ferramentas computacionais para resolver numericamente (alguns) problemas.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

No final da UC o aluno deverá ser capaz de: OA1: Calcular limites de sucessões OA2. Calcular derivadas e interpretar o resultado obtido. OA3. Determinar aproximações lineares e de ordem superior. OA4. Calcular explicitamente primitivas de funções reais. OA5. Usar o teorema fundamental do cálculo na derivação de integrais indefinidos OA6. Utilizar a noção de integral na determinação de áreas, comprimentos, probabilidades, etc. OA7. Integrar algumas EDOs notáveis. OA8. Recorrer a métodos numéricos para obter soluções de alguns problemas, e utilizar ferramentas computacionais de representação gráfica.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

1. Sucessões 1.1. Primeiras noções 1.2. Convergência 1.3. Alguns limites e resultados úteis 2. Cálculo diferencial em R 2.1. Breve revisão 2.2. Continuidade e limite 2.3. Diferenciabilidade e fórmula de Taylor; aplicações 2.4. Métodos numéricos 2.4.1. Método do ponto fixo 2.4.2. Método da bissecção 2.4.3. Método de Newton-Raphson 2.4.4. Derivação numérica 3. Cálculo Integral em R 3.1. Métodos gerais de primitivação 3.2. Cálculo de integrais 3.3. Teorema fundamental do Cálculo 3.4. Integração numérica 3.4.1. Método do ponto médio 3.4.2. Método dos trapézios 4. Equações diferenciais ordinárias 4.1. Equações de varáveis separáveis 4.2. Equações lineares de 1ª ordem 4.3. Métodos numéricos 4.3.1. Método de Euler 4.3.2. Método de Runge-Kutta (RK4)

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

Os conteúdos programáticos (CP) encontram-se associados aos objetivos de aprendizagem (OA) da seguinte forma: O CP1, que incide sobre Sucessões, pretende cumprir o OA1. Os pontos CP2.1 a CP2.3, que se referem ao cálculo diferencial em R, dão suporte aos OA2 e OA3, nomeadamente, na aprendizagem de métodos de derivação e na utilização de polinómios de Taylor para aproximar funções. Os pontos CP3.1 a CP3.3 estão associados aos OA4, OA5 e OA6, sendo que o OA7, integração de EDO, é suportado pelos pontos CP4.1 e CP4.2. Os métodos numéricos, referidos nos pontos CP2.4, CP3.4 e CP4.3, permitem cumprir o OA8.

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores numa das modalidades: - Avaliação ao longo do semestre: Frequência (75%) + dois trabalhos de grupo sobre cálculo numérico (25%). - Avaliação por Exame (100%), em qualquer uma das épocas de exame. O exame compreende uma componente analítica (75%) e outra computacional (25%). Os alunos que tenham tido aproveitamento nos trabalhos de grupo poderão dispensar-se de realizar esta última componente. A nota mínima é de 8 valores. As notas finais superiores a 16 valores sujeitam-se a homologação através de uma prova oral.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As aulas dividem-se entre aulas de carácter teórico-prático e três aulas práticas com programação em Python. Desenrolam-se de acordo com as seguintes metodologias de ensino-aprendizagem: MEA1. Exposição e discussão. MEA2. Resolução de exercícios. MEA3. Auto-estudo, segundo o trabalho autónomo do aluno, parcialmente organizado pelo planeamento semanal de aulas. O aluno deve dedicar 4 a 6 horas semanais em trabalho autónomo para (i) revisão da matéria, (ii) resolução de exercícios/problemas.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino-aprendizagem (MEA) visam atingir os objetivos de aprendizagem (OA) conforme indicado de seguida: De uma forma geral, todos os métodos de ensino estão associados aos oito OA. A exposição da matéria e posterior discussão (MEA1) permite desenvolver competências analíticas para resolução de problemas, tal como expresso no MEA2. A avaliação individual das matérias teórico-práticas, a que se referem os OA2 a OA7, é feita através de provas escritas. A avaliação das competências adquiridas em termos do cálculo numérico e da representação gráfica (OA8) é feita através de trabalhos de grupo. Em todo o caso, o autoestudo é fundamental para uma aprendizagem bem-sucedida.

Observações / Observations

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Bibliografia Principal / Main Bibliography

[1] Ferreira, J.C. (2011). “Introdução à Análise Matemática”, Fundação Calouste Gulbenkian. [2] Strang, G. (1991). “Calculus”, Wellesley-Cambridge. [3] Caputo, H.P. (1973). “Iniciação ao Estudo das Equações Diferenciais”, Livros Técnicos e Científicos Editora, S.A.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

[4] Suleman, A., Rocha, J., Alho, A., Apontamentos de aula. (disponível no Moodle) [5] Suleman, A., Notas sobre cálculo numérico (disponível no Moodle). [6] Santos, M.I.R., Matemática computacional (IST).

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-24