Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Os alunos devem estar familiarizados com os fundamentos do cálculo diferencial e integral em uma variável e com noções básicas de álgebra linear. Para o módulo final da UC (Análise Complexa) é conveniente alguma familiaridade com derivadas parciais e integrais de linha, tópicos lecionados no início da UC Cálculo II.

Objetivos Gerais / Objectives

Apreender conceitos e técnicas fundamentais de análise complexa, análise de Fourier e equações diferenciais, com vista a aplicações em teoria de circuitos, processamento de sinal e sistemas de telecomunicações.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1 Dominar a álgebra de números complexos; saber lidar com funções exponenciais e trigonométricas e respetivas inversas. OA2 Resolver explicitamente problemas de valor inicial, em particular utilizando a transformada de Laplace. OA3 Representar funções periódicas em séries de Fourier. OA4 Determinar as transformações de Laplace e Fourier de funções simples. OA5 Conhecer e aplicar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace e Fourier. OA6 Utilizar métodos e propriedades de análise de Fourier no contexto de processamento de sinal, tratamento de imagem e compressão de dados. OA7 Identificar funções holomorfas através das condições de Cauchy-Riemann. Calcular integrais de funções no plano complexo. OA8 Representar funções de variável complexa em séries de potências e identificar singularidades. OA9 Calcular integrais utilizando o teorema dos resíduos. OA10 Implementar aplicações computacionais da análise de Fourier e da análise complexa utilizando MATLAB.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

0) Números complexos. Fórmula de Euler, representação polar e raízes. 1) Equações diferenciais ordinárias 1.1 Equações de primeira ordem separáveis e lineares. 1.2 Equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Aplicações: circuitos RLC; oscilações forçadas e ressonância. 1.3 Transformada de Laplace e suas propriedades. Aplicação à resolução de problemas de valor inicial. 2) Análise de Fourier e aplicações 2.1. Séries de Fourier 2.2. Transformada de Fourier e suas propriedades. 2.3. Convolução de funções. 2.4. Aplicação do teorema da convolução a sistemas lineares invariantes no tempo. Filtros. 2.5. Aplicações computacionais da análise de Fourier utilizando MATLAB. 3) Análise complexa 3.1 Funções de variável complexa. Funções analíticas. Condições de Cauchy-Riemann. 3.2 Integrais de funções complexas no plano complexo. Teorema de Cauchy. 3.3 Séries de Taylor e Laurent. Singularidades e polos. 3.4 Teorema dos resíduos. Aplicações: cálculo de integrais.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

A transformada de Laplace permite um algoritmo para resolução de equações diferenciais de coeficientes constantes (OA2). O estudo inicial dos números complexos (OA1) permite estudar séries de Fourier de funções periódicas (OA3), transformadas de Fourier e o seu cálculo para funções simples (OA4). Algumas propriedades das transformadas de Fourier e de Laplace são semelhantes, podendo ser estudadas em paralelo (OA5). A convolução de funções permite discutir e mostrar aplicações em tratamento de sinais (OA6). Em Análise Complexa, estuda-se a diferenciabilidade de funções através das condições de Cachy-Riemann e o cálculo de integrais de funções no plano complexo (OA7). O desenvolvimento em séries de Laurent permitirá a classificação de singularidades (OA8) e o cálculo de resíduos, bem como o estudo posterior do teorema dos resíduos e a respetiva aplicação ao cálculo de integrais (OA9). Ao longo do semestre será usado o MATLAB para demonstrações computacionais (OA10).

Avaliação / Assessment

A - Avaliação ao longo do semestre: teste escrito intercalar (ponderação de 45%); trabalho em grupo em Matlab (10%); teste escrito final (sobre a matéria não avaliada no primeiro teste), realizado no mesmo dia da avaliação escrita por exame de 1ª época (ponderação de 45%). A nota mínima em qualquer uma das provas escritas é 8,0 e a média ponderada dos dois testes e do trabalho tem uma nota mínima de 9,5. B - Avaliação por Exame (100%), em qualquer das Épocas de Avaliação. O Exame é presencial e com nota mínima de 9,5 valores. O professor responsável reserva-se o direito de fazer orais sempre que considere necessário.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

As aulas dividem-se entre aulas de carácter teórico-prático, incluindo demonstrações computacionais em MATLAB. As aulas desenrolam-se de acordo com as seguintes metodologias de ensino-aprendizagem (MEA): MEA1 Exposição e discussão. MEA2 Resolução de exercícios . MEA3 Trabalho autónomo do aluno. O aluno deve dedicar de 4 a 6 horas semanais em trabalho autónomo para (i) consulta da bibliografia indicada e revisão da matéria, (ii) resolução de exercícios/problemas e na realização de experiências computacionais com MATLAB.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino-aprendizagem (MEA) desta unidade curricular estão desenhadas para atingir os objetivos de aprendizagem (OA) estabelecidos. A MEA1 (Exposição e discussão) é fundamental para alcançar os OA1 a OA9, uma vez que permite aos alunos compreender a teoria por trás dos conceitos e métodos apresentados nos conteúdos programáticos. Durante as aulas teórico-práticas os conceitos fundamentais são explicados e debatidos, garantindo uma compreensão sólida e profunda. A discussão em aula promove um ambiente de aprendizagem ativa, onde os alunos podem clarificar dúvidas e aprofundar o seu conhecimento, essencial para a assimilação dos temas abordados. A MEA2 (Resolução de exercícios) e a MEA3 (Trabalho autónomo) complementam a exposição teórica, garantindo que os alunos não só compreendem a teoria, mas também são capazes de aplicá-la em situações práticas. Durante as aulas, os alunos são incentivados a resolver exercícios em conjunto com o professor, aplicando os conhecimentos adquiridos para resolver problemas relacionados com os OA1 a OA9. A programação em MATLAB (OA10) é integrada nas aulas, permitindo aos alunos explorar os conteúdos programáticos de forma interativa e prática. Para solidificar os conteúdos aprendidos em aula, é essencial que os alunos dediquem de 4 a 6 horas semanais ao trabalho autónomo. Este tempo deve ser utilizado para a revisão da matéria, consulta da bibliografia recomendada, resolução adicional de exercícios e realização de experiências computacionais em MATLAB, assegurando uma aprendizagem contínua e profunda que abrange todos os objetivos de aprendizagem da unidade curricular.

Observações / Observations

Bibliografia Principal / Main Bibliography

- W. Boyce e R. DiPrima, "Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valor de Contorno", Livros Técnicos e Científicos Editora, 2010. - J. Marsden and M. Hoffman, "Basic Complex Analysis", W.H. Freeman, 1998. - Apontamentos fornecidos pelo docente.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

- A. David Wunsch, A MATLAB Companion to Complex Variables, CRC Press, 2016 - P. Girão, "Introdução à Análise Complexa, Séries de Fourier e Equações diferenciais", IST Press, 2014. - A. Boggess and F. J. Narcowich, "A First Course in Wavelets with Fourier Analysis", Wiley, 2009.

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-25