Currículo

Tópicos de Matemática para Computação 03723

Contextos

ECTS

6.0 (para cálculo da média)

Objectivos

OA1. Resolver congruências e aplicar técnicas de aritmética modular na resolução de problemas. OA2. Utilizar propriedades da fatorização de números naturais no contexto de criptografia. OA3. Resolver relações de recorrência utilizando funções geradoras. OA4. Determinar e interpretar transformadas de Fourier discretas e as suas inversas. OA5. Utilizar métodos e propriedades de análise de Fourier no contexto de processamento de sinal, tratamento de imagem e compressão de dados. OA6. Determinar arquiteturas básicas de redes neuronais para aplicar em problemas de regressão e classificação. OA7. Aplicar algoritmos de otimização numérica no contexto de problemas de aprendizagem automática com redes neuronais. OA8. Implementar computacionalmente exemplos concretos das aplicações referidas nos pontos anteriores.

Programa

CP1. Teoria de números e criptografia 1.1. Aritmética modular. 1.2. Números primos. Algoritmo de Euclides. 1.3. Congruências. Teorema chinês dos restos. Pequeno teorema de Fermat. 1.4. Introdução à criptografia de chave pública. 1.5. Implementação computacional de métodos de criptografia. CP2. Análise de recorrências 2.1 Função geradora de uma sucessão. 2.2 Resolução de relações de recorrência lineares. 2.3 Aplicação a problemas de contagem. CP3. A transformada de Fourier discreta. 3.1. Números complexos. 3.2. Sinais discretos. 3.3. A transformada de Fourier discreta e a sua inversa. 3.4. O algoritmo FFT. 3.5. Convolução discreta. Teorema da convolução. Cálculo eficiente de convoluções. 3.6. Tratamento e compressão de som e imagem. CP4. Redes Neuronais 4.1. Introdução à aprendizagem automática. 4.2. Redes neuronais profundas. 4.3. Regressão e classificação linear. Funções de erro. 4.4. Otimização numérica: descida do gradiente. 4.5. O algoritmo backprop. 4.6. Reconhecimento de imagem.

Método de Avaliação

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores numa das modalidades: - Avaliação ao longo do semestre versão 1: 2 testes (40% cada) + 4 avaliações práticas presenciais (20%), ou - Avaliação ao longo do semestre versão 2: Exame (80%), em qualquer uma das épocas de exame + 4 avaliações práticas presenciais (20%), ou - Avaliação por Exame (100%), em qualquer uma das épocas de exame. - Aprovação em avaliação ao longo do semestre v1 requer uma nota mínima de 8.0 em 20 em cada um dos testes. - Aprovação em avaliação ao longo do semestre v2 requer uma nota mínima de 8.0 em 20 no exame. - O 2º teste realizar-se-á na data da 1ª época de exames. - No caso da avaliação ao longo do semestre v1, os alunos poderão realizar pela primeira vez, ou repetir, 1 dos testes, e apenas 1, durante a 2ª época de exame, o que pode requerer a inscrição em melhoria junto dos serviçoes académicos. - As avaliações práticas presenciais serão realizadas na aula, em grupos, formados idealmente por 4 alunos. A avaliação destas aulas é indivudual. - Notas superiores ou iguais a 19, em qualquer das modalidades anteriores, poderão estar sujeitas a uma defesa de nota. - Todos os momentos de avaliação podem estar sujeitos a uma prova oral, caso o professor considere que há necessidade de algum tipo de clarificação.

Carga Horária

Bibliografia

Principal

• - Kenneth Rosen, "Discrete Mathematics and its Applications", 8th Ediiton, McGraw Hill 2019. - José Félix Costa e Paula Gouveia, "Matemática Discreta", IST Press, 2019 - João L. Costa, Slides da UC.:

Secundária

• - Michael Heath, "Scientific Computing: An Introductory Survey", McGraw Hill (2002) - Evelyn Herberg, "Lecture Notes: Neural Network Architectures", arXiv preprint arXiv:2304.05133, 2023:

Disciplinas de Execução