Ficha Unidade Curricular (FUC)
Informação Geral / General Information
Carga Horária / Course Load
Área científica / Scientific area
Matemática
Departamento / Department
Departamento de Matemática
Ano letivo / Execution Year
2024/2025
Pré-requisitos / Pre-Requisites
- Familiaridade com álgebra básica: polinómios, factorização de polinómios, resolução de equações algébricas por radicais; - Familiaridade com geometria analítica no plano e no espaço; - Domínio dos conteúdos adquiridos na UC Matemática - L5027 do 1º semestre, nomeadamente: funções reais de 1 variável real (algébricas, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas), limites, continuidade, regras de derivação, regra da cadeia, derivação implícita e polinómios de Taylor.
Objetivos Gerais / Objectives
Esta UC pretende complementar a formação adquirida na UC Matemática - L5027, introduzindo 3 áreas centrais na modelação matemática de problemas com natureza económica e logística: 1. Álgebra Linear; 2. Cálculo Diferencial multivariável; 3. Optimização. A UC procura promover uma aprendizagem adequada dos conceitos básicos inerentes às áreas supramencionadas e o desenvolvimento de competências úteis no contexto da licenciatura em que se insere.
Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes
No final desta UC o aluno deverá: OA1. Resolver sistemas lineares. Adquirir familiaridade com álgebra matricial, determinantes, e reconhecer a utilidade destes conceitos na discussão teórico-prática de sistema lineares. Calcular valores próprios, vetores próprios e reconhecer a importância teórico-prática da diagonalização de matrizes. Identificar e classificar formas quadráticas. OA2. Identificar funções reais com múltiplas variáveis e adquirir familiaridade com as suas representações analíticas e gráficas. Compreender os conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade no contexto multivariável. Calcular e interpretar derivadas direcionais e vetores gradiente. OA3. Calcular extremos locais de funções com 2 variáveis em pontos interiores. Calcular extremos absolutos de funções com 2 ou 3 variáveis sujeitas a uma restrição. Identificar e formular problemas de optimização no contexto multivariável.
Conteúdos Programáticos / Syllabus
CP1. Álgebra Linear 1.1 Sistemas lineares: matriz ampliada, eliminação de Gauss, rank e classificação de sistemas. 1.2 Álgebra matricial: soma, produto e transposição de matrizes. Inversão de matrizes. 1.3 Determinantes: definição e propriedades. 1.4 Valores e vetores próprios de uma matriz. Diagonalização. 1.5 Formas quadráticas. CP2. Cálculo Diferencial multivariável 2.1 Funções com 2 ou 3 variáveis. 2.2 Limites e continuidade. 2.3 Derivadas parciais. Diferenciabilidade e aproximações lineares. Segundas derivadas parciais e teorema de Clairaut. 2.4 A Regra da Cadeia. 2.5 Derivadas direcionais e o vetor gradiente. CP3. Optimização 3.1 Extremos locais e absolutos. Pontos críticos. 3.2 Funções com 2 variáveis: pontos de sela, matriz Hessiana, Teste das Segundas Derivadas; teorema de Weierstrass e extensão do método dos intervalos fechados. 3.3 Funções com 2 ou 3 variáveis: extremos condicionados; multiplicadores de Lagrange.
Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes
- O tratamento dos sistemas lineares (secção 1.1) introduz a noção de matriz numa perspetiva prática, realçando a eliminação de Gauss. Aspetos algébricos (secção 1.2) permitem revisitar a discussão anterior usando equações matriciais (secção 1.4). A abordagem do determinante (secção 1.3.) é sintética e foca-se na inversão matricial. O aluno adquire ferramentas para compreensão da diagonalização e classificação de formas quadráticas (secção 1.5). - O Cálculo Diferencial multivariável discute-se no caso de 2 variáveis, cuja natureza geométrica permite ilustrar eficazmente os aspetos relevantes da teoria (secções 2.1 até 2.5). Estende-se a discussão para 3 variáveis sempre que possível. - A classificação de formas quadráticas permite caracterizar extremos locais e generaliza o teste da segunda derivada (secção 3.2). Estuda-se a questão de existência para extremos absolutos (secção 3.2). Tratam-se problemas condicionados com uma introdução aos multiplicadores de Lagrange (secção 3.3).
Avaliação / Assessment
> A UC apresenta duas opções de avaliação: *(AS) Avaliação ao Longo do Semestre Nesta opção, o aluno realiza: - 3 mini-testes presenciais em aula; - 3 quizzes online fora de aula; - 1 exame final na 1ª ou 2ª época de exames do 2º semestre; e a nota final é calculada, à unidade mais próxima, de acordo com a seguinte cotação: NOTA FINAL = 10% x MT + 15% x QO + 75% x E onde: - MT = média aritmética, calculada à centésima, das duas melhores notas obtidas entre os 3 mini-testes realizados pelo aluno; - QO = média aritmética, calculada à centésima, das notas obtidas em todos os quizzes online; - E = nota obtida no exame, calculada à centésima. *(AE) Avaliação por exame Nesta opção, o aluno realiza apenas 1 exame final na 1ª ou 2ª época de exames do 2º semestre. A nota final é a nota obtida no exame, calculada até à centésima e arredondada à unidade mais próxima: NOTA FINAL = NOTA OBTIDA NO EXAME (ARREDONDADA À UNIDADE MAIS PRÓXIMA) > Ambas as opções de avaliação referidas acima estão sujeitas a algumas regras (LEIA COM ATENÇÃO): 1. Aplica-se o mesmo exame final em qualquer uma das opções de avaliação anteriormente referidas; 2. A nota obtida através da avaliação ao longo do semestre (AS) só é válida se forem satisfeitas as seguintes condições: 2.1. O aluno frequentou, com espírito participativo e respeitador do ambiente letivo, 24 aulas num total semestral de 36 aulas (incluindo teóricas e práticas); 2.2. O aluno atingiu as seguintes classificações mínimas: MT >= 10.00, QO >= 10.00 e E >= 8.50; O incumprimento de pelo menos uma das duas condições acima exclui o aluno desta opção de avaliação, passando a ser avaliado por exame (AE). 3. Se um aluno satisfaz as condições impostas pela opção de avaliação AS e a sua potencial nota final for inferior à nota que obteria pela opção de avaliação AE, então o aluno em questão será avaliado de acordo com esta última opção. > As notas dos quizzes, mini-testes e exames finais são atribuídas numa escala de 0.00 a 20.00. O aluno obtém aprovação à UC se a sua nota final for maior ou igual que 10, numa escala de 0 a 20.
Metodologias de Ensino / Teaching methodologies
As metodologias de ensino-aprendizagem empregues nesta UC são de natureza: 1. Expositiva: apresentação dos conceitos teóricos apoiados em exemplos ilustrativos. 2. Participativa: discussão ativa de exercícios propostos. 3. Ativa: realização de testes em aula. 4. Trabalho autónomo: o aluno resolve, fora de aula, exercícios propostos e consulta bibliografia recomendada.
Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes
> A introdução à Álgebra Linear (secções 1.1. até 1.5) é feita através da apresentação e ilustração dos conceitos em aula teórica. O aluno terá a oportunidade de consolidar a matéria adquirida através da resolução de exercícios propostos em aula prática. O documento PUC oferece ainda uma variedade adicional de exercícios dedicados ao trabalho autónomo do aluno e que complementam a sua formação. O primeiro quiz e o primeiro mini-teste incidem maioritariamente sobre este conteúdo programático e servem o aluno enquanto ferramenta de diagnóstico. Neste ponto, o aluno saberá identificar problemas no contexto da Álgebra Linear e identificará a eliminação de Gauss enquanto ferramenta principal, adquirindo igualmente familiaridade com matrizes e reconhecendo a vantagem da linguagem matricial neste contexto. > A introdução ao Cálculo Diferencial multivariável (secções 2.1 até 2.5) é feita através da apresentação e ilustração dos conceitos em aula teórica, aqui facilitada pela introdução de ferramentas visuais dada a natureza geométrica da teoria. O aluno terá a oportunidade de consolidar a matéria adquirida através da resolução de exercícios propostos em aula prática. O documento PUC oferece ainda uma variedade adicional de exercícios dedicados ao trabalho autónomo do aluno e que complementam a sua formação. O segundo quiz e segundo mini-teste incidirão maioritariamente sobre os conteúdos programáticos desde a secção 1.5 até à secção 2.3 ou 2.4. O aluno tem assim uma nova oportunidade de diagnóstico do conhecimento até então adquirido. Neste ponto, o aluno terá desenvolvido uma visão global da importância das funções multivariáveis no contexto da modelação matemática, tornando mais natural a introdução do tópico de Optimização. > A introdução à Optimização (secções 3.1, 3.2 e 3.3) é feita através da apresentação e ilustração dos conceitos em aula teórica, aqui facilitada pela introdução de ferramentas visuais dada a natureza geométrica da teoria. O aluno terá a oportunidade de consolidar a matéria adquirida através da resolução de exercícios propostos em aula prática. O documento PUC oferece ainda uma variedade adicional de exercícios dedicados ao trabalho autónomo do aluno e que complementam a sua formação. O terceiro quiz e terceiro mini-teste incidirão maioritariamente sobre os conteúdos programáticos desde a secção 2.4 ou 2.5 até à secção 3.3. O aluno tem assim uma oportunidade de diagnóstico do conhecimento até então adquirido. Neste ponto, o aluno terá adquirido autonomia suficiente para identificar um problema de optimização e as ferramentas necessárias para a sua resolução. A consolidação global dos conceitos será avaliada no exame final, cuja proposta de exercícios segue o nível de exigência gradualmente crescente ao longo do semestre.
Observações / Observations
1. Os quizzes online são desenhados para funcionar de acordo com regras específicas (LEIA COM ATENÇÃO): > Cada quiz é realizado fora de aula e será lançado através da página Moodle do curso, em datas e horas anunciadas oportunamente. > Cada aluno só pode aceder uma vez ao quiz: uma vez acedido, o aluno dispõe de 30 minutos para submeter as suas respostas através do Moodle. > O acesso e submissão das respostas tem de ocorrer dentro de 72 horas após lançamento, sob pena de invalidação pelo sistema Moodle. > É da responsabilidade do aluno assegurar-se que tem boas condições de acesso à Internet, para efeitos da realização do quiz. Não é aconselhado o acesso à rede através de browser móvel. > O docente não se responsabiliza pela invalidação da submissão do quiz por motivos de falha técnica ou incumprimento do prazo de submissão, exceto em caso de falha global do serviço Moodle por razões técnicas ou administrativas durante o período de submissão do quiz. Uma submissão inválida equivale a uma nota de 0 valores no respetivo quiz. 2. Os alunos repetentes dispõem das mesmas opções de avaliação, sujeitas às mesmas regras. Contudo, os alunos que frequentem o exame de época especial serão somente avaliados pela opção de avaliação por exame (AE). 3. O docente responsável pela UC reserva-se o direito de convocar alunos para prova oral sempre que estes obtenham uma nota final >= 18.
Bibliografia Principal / Main Bibliography
1. Howard Anton & Chris Rorres, "Álgebra Linear com Aplicações", Tradução da 10ª Edição Norte-Americana, 2012, Bookman. 2. James Stewart, "Cálculo, Volume 2", Tradução da 8ª Edição Norte-Americana, 2016, Cengage Learning.
Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography
1. Knut Sydsaeter, Peter Hammond, Arne Strom & Andrés Carvajal, "Essential Mathematics for Economic Analysis", 5th Edition, 2016, Pearson. 2. Alpha C. Chiang & Kevin Wainwright, "Fundamental Methods of Mathematical Economics", 4th Edition, 2005, McGraw-Hill.
Data da última atualização / Last Update Date
2024-07-23