Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

460 - Matemática e estatística

Departamento / Department

Departamento de Ciências Sociais e Empresariais

Ano letivo / Execution Year

2026/2027

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Os alunos deverão estar familiarizados com a manipulação de vetores e com a resolução de equações lineares, abordados no ensino secundário.

Objetivos Gerais / Objectives

Esta UC desenvolve capacidades ao nível do cálculo vetorial no plano e no espaço e da teoria das matrizes, aprofundando também alguns conhecimentos de geometria analítica. Os sistemas de equações lineares surgem na UC como motivação ao uso das matrizes, na sua formulação e resolução. Os conceitos de corpo e espaço vetorial (a aprofundar na UC de álgebra mais avançada). Pretende-se ainda que o aluno entenda as matrizes como forma de definição de funções, neste caso, de transformações lineares. É privilegiada uma estreita conexão entre a Análise e a Álgebra, com competências de manipulação algébrica a complementar estudos analíticos. Os tópicos abordados enquadram-se naturalmente em aplicações a diversas áreas do saber. A exploração e ilustração dos tópicos com Python é facilitadora de uma aprendizagem robusta e inicia o aluno na sua utilização como ferramenta auxiliar de trabalho.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1 Representar elementos geométricos OA2 Classificar quanto ao paralelismo e à perpendicularidade OA3 Dominar a linguagem dos vetores e das matrizes e realizar operações OA4 Classificar conjuntos de vetores quanto à dependência linear OA5 Calcular determinantes, interpretar o seu valor e aplicar propriedades OA6 Resolver sistemas de equações lineares usando matrizes e identificar variáveis dependentes OA7 Entender e calcular valores e vetores próprios OA8 Compreender o conceito de espaço vetorial real OA9 Entender a definição de produto de números complexos como a operação entre vetores que permite em C a estrutura de corpo e de espaço vetorial sobre R OA10 Apreender a identificação da constante imaginária com o vetor (0,1) OA11 Construir, identificar, analisar e interpretar transformações lineares OA12 Usar o Python como ferramenta de trabalho exploratório OA13 Aplicar os conhecimentos e técnicas a problemas com contexto e adquirir competências e raciocínio para a sua formulação

Conteúdos Programáticos / Syllabus

CP1 Vetores em R^2 e R^3. Distância euclidiana CP2 Produto escalar. Reta e parametrização de segmentos CP3 Produto vetorial. Ortogonalidade. Projeções. Vetor normal a um plano CP4 Sistemas de equações lineares (SELs). Eliminação de Gauss-Jordan CP5 Escrita matricial de SELs. Álgebra de matrizes. Matriz transposta CP6 Combinação e dependência linear de vetores. Característica de uma matriz e condensação de Gauss. Teorema de Rouché e dependência de variáveis CP7 Matriz inversa. Matrizes elementares. Permutação e sinal. Determinante e propriedades CP8 Menores complementares e matriz adjunta. Fórmula de Laplace CP9 Método da matriz inversa e regra de Cramer em SELs CP10 Cadeias de Markov e vetores e valores próprios de uma matriz. Polinómio característico. Formas quadráticas CP10 Corpos. R e C CP11 Espaço vetorial real. R^2, R^3 e C CP12 Transformações lineares e operadores. Matriz. Imagem e núcleo CP13 Composta e mudanças geométricas: expansão e contração uniformes, reflexão e rotação

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular unit's content dovetails with the specified learning outcomes

Os conteúdos programáticos (CPs) estão relacionados com cada um dos objetivos de aprendizagem (OAs) da seguinte forma: OA1 - CP1, CP2, CP3 OA2 - CP1, CP2, CP6, CP13 OA3 - de CP1 a CP13 OA4 - CP6 OA5 - CP7, CP8, CP9 OA6 - CP4, CP5, CP9 QA7 - CP10 OA8- CP11, CP12 OA9 - CP11, CP12 OA10 - CP11, CP12 OA11 - CP13, CP13 OA12 - de CP1 a CP13 OA13 - CP4, CP9, CP13 A introdução a vetores, matrizes e sistemas lineares (CP1–CP6) permite representar elementos geométricos, resolver sistemas e analisar dependência linear (OA1–OA6). O estudo de determinantes, vetores próprios, espaços vetoriais e transformações lineares (CP7–CP13) sustenta os objetivos ligados à estrutura algébrica de espaço vetorial (OA7–OA11). A exploração computacional com Python e a resolução de problemas com contexto abrangem os objetivos ligados a aplicações (OA12–OA13).

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores (escala de 0 a 20) numa das modalidades seguintes: - Avaliação ao Longo do Semestre: - Teste 1 (35%); - Teste 2 (35%), realizado na data do exame de 1.ª época; - Trabalho prático em grupo (20%); - Exercícios resolvidos no Moodle e/ou em aula (10%). É exigida uma classificação mínima de 7 valores (escala de 0 a 20) em cada um dos testes. - Avaliação por Exame: Prova escrita individual (100%), realizada em qualquer das épocas de exame. O docente responsável pela unidade curricular pode determinar a realização de uma discussão oral complementar relativamente a qualquer elemento de avaliação previsto, sempre que tal se revele necessário para confirmar a autoria dos trabalhos realizados, validar a aquisição dos conhecimentos e competências avaliados ou esclarecer discrepâncias entre diferentes elementos de avaliação. A discussão oral complementar não constitui um instrumento autónomo de avaliação nem tem ponderação própria na classificação final da unidade curricular. Destina-se exclusivamente à validação do desempenho demonstrado no respetivo elemento de avaliação. A classificação inicialmente atribuída a esse elemento tem natureza provisória até à realização da discussão oral complementar, podendo ser confirmada ou revista em função do desempenho demonstrado pelo estudante na discussão oral complementar e dos critérios de avaliação aplicáveis. A convocatória para a discussão oral complementar será comunicada ao estudante com uma antecedência mínima de 24 horas, indicando a data e a hora de realização. A não comparência, sem justificação atendível, impossibilita a validação do respetivo elemento de avaliação, aplicando-se as consequências previstas para a sua não realização ou desistência.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

Serão aplicadas as metodologias de ensino-aprendizagem (MEAs) seguintes: MEA1. Expositivas, com apresentação e discussão dos quadros teóricos de referência MEA2. Participativas, com interpretação e resolução de exercício prático e problema de aplicação MEA3. Activas, com realização de trabalho de grupo MEA4. Experimentais, com exploração computacional de conteúdos programáticos, em laboratório MEA5. Auto-estudo, com atividades de trabalho autónomo a realizar pelo aluno, conforme o Plano de Aulas.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino e aprendizagem adotadas articulam-se diretamente com os objetivos de aprendizagem (OA), combinando a aquisição de conhecimentos teóricos com a sua aplicação na resolução de problemas, a exploração computacional e o trabalho autónomo e colaborativo. MEA1 – Expositiva: A apresentação e discussão dos quadros teóricos de referência permite desenvolver os conhecimentos conceptuais necessários aos OA3–OA11, nomeadamente sobre vetores, matrizes, determinantes, sistemas de equações lineares, espaços vetoriais, valores e vetores próprios e transformações lineares. A exposição é acompanhada de exemplos e demonstrações que permitem compreender propriedades, relações e procedimentos. MEA2 – Participativa: A interpretação e resolução de exercícios e problemas de aplicação permite mobilizar os conhecimentos adquiridos e desenvolver o raciocínio e a capacidade de resolução de problemas (OA1–OA11 e OA13). A discussão das estratégias de resolução e de diferentes abordagens contribui para a consolidação dos conceitos e para a interpretação dos resultados. MEA3 – Ativa: O trabalho prático em grupo promove a aplicação integrada dos conhecimentos a problemas de maior complexidade, contribuindo particularmente para os OA11–OA13. A colaboração e discussão de estratégias desenvolvem competências de comunicação, argumentação e trabalho em equipa. MEA4 – Experimental: A exploração computacional, nomeadamente através de Python, permite experimentar, visualizar e analisar conceitos e resultados de Álgebra Linear, contribuindo diretamente para o OA12 e apoiando a concretização dos OA1–OA7 e OA11–OA13. Permite ainda explorar problemas de maior dimensão ou complexidade e interpretar os resultados obtidos. MEA5 – Auto-estudo: O trabalho autónomo permite consolidar e aprofundar os conteúdos, praticar técnicas de resolução e desenvolver a autonomia na aprendizagem, contribuindo para todos os OA, em particular para a capacidade de aplicar os conhecimentos a novos problemas (OA13). A avaliação acompanha esta articulação: os testes avaliam individualmente a compreensão dos conceitos e a capacidade de aplicar métodos e técnicas de Álgebra Linear; os exercícios no Moodle e/ou em aula permitem acompanhar e consolidar a aprendizagem; e o trabalho prático em grupo avalia a integração e aplicação dos conhecimentos na resolução de problemas, incluindo a utilização de ferramentas computacionais e a interpretação e comunicação dos resultados.

Observações / Observations

É aconselhado o número mínimo de 6 a 7 horas semanais em trabalho autónomo (MEA4) para consulta da bibliografia indicada, resolução de exercícios e revisão de conteúdos.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

David C. Lay (2015) Linear Algebra and its Applications, Addison Wesley, Pearson H. Anton and C. Rorres (2010) Elementary Linear Algebra - Applications Version, John Wiley and Sons Blyth T.S., Robertson E.F. (2002). Basic Linear Algebra. Springer. Lages E.L. (2015). Geometria Analítica e Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária. IMPA. The Mathworks, Inc. - The Student Edition of Matlab , Prentice-Hall, 5th Version Materiais científico-pedagógicos (slides, notas de desenvolvimento, código e pseudo código, fichas de exercícios e problemas) disponibilizados pela equipa docente.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Cabral I., Perdigão C., Saiago C. (2018). Álgebra Linear Teoria, Exercícios Resolvidos e Exercícios Propostos com Soluções, Escolar Editora. Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, and Cheng Soon Ong (2020) Mathematics for Machine Learning, Cambridge University Press [electronic resource: https://mml-book.github.io/book/mml-book.pdf]

Data da última atualização / Last Update Date

2026-02-20