Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Os alunos devem estar familiarizados com o cálculo diferencial em R, o cálculo integral em R, e com noções de álgebra linear, nomeadamente vetores em Rn, matrizes, determinantes e funções lineares.

Objetivos Gerais / Objectives

Apreender os conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral de várias variáveis, essenciais à formulação e tratamento de problemas colocados no âmbito da física e engenharia.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

OA1: Compreender os conceitos e técnicas do cálculo diferencial em Rn. OA2: Aplicar a diferenciabilidade no estudo da otimização. OA3: Compreender as definições e calcular integrais em Rn. OA4: Aplicar integrais duplos e triplos no cálculo de áreas, volumes, centro de massa e densidade de probabilidade. OA5: Utilizar métodos numéricos para integração. OA6: Compreender as definições de cálculo vetorial e aplicar os teoremas da análise vetorial a problemas de física.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

1) Cálculo Diferencial em Rn 1.1.Funções de várias variáveis 1.2.Limites e continuidade 1.3.Derivadas parciais,direcionais e gradiente 1.4.A regra da cadeia e o algoritmo backpropagation 1.5.Teoremas da função implícita e da função inversa 1.6.Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor 2) Otimização em várias variáveis 2.1.Otimização analítica vs otimização numérica 2.2.Extremos livres 2.3.Métodos numéricos: descida máxima e método de Newton 3) Cálculo Integral em Rn 3.1.O integral de Riemann em Rn 3.2.Teorema de Fubini 3.3.Mudança de variável 3.4.Integrais duplos e triplos 3.5.Aplicações:cálculo de áreas,volumes,centros de massa e densidade de probabilidade 3.6.Métodos numéricos:integração numérica(método de Monte Carlo) 4)Análise Vetorial 4.1.Geometria das curvas 4.2.Geometria das superfícies 4.3.Integrais de linha: teorema fundamental 4.4.Integrais de superfície 4.5.Teoremas de Green, Stokes e da divergência

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

O OA1 é alcançado como consequência do estudo dos fundamentos das funções de várias variáveis, como limites, continuidade e derivadas, bem como a fórmula de Taylor. Estes fundamentos são posteriormente aplicados na optimização (OA2) de funções. O OA3 é tratados no estudo dos integrais de Riemann, em particular com o teorema de Fubini e mudança de variável. Estas técnicas são aplicadas no cálculo de áreas, volumes, centro de massa e densidade de probabilidade (OA4). O uso de métodos numéricos, como a integração numérica pelo método de Monte Carlo (OA5), complementa a formação prática e teórica dos alunos. A análise vetorial (OA6) faz-se através do estudo da geometria das curvas e superfícies, integrais de linha e superfície, e teoremas fundamentais como os de Green, Stokes e da divergência. Estes conteúdos proporcionam uma compreensão dos conceitos e teoremas usados para resolver problemas em física.

Avaliação / Assessment

Os alunos podem optar por uma das seguintes modalidades de avaliação: -Avaliação ao longo do semestre- Mini testes em aula (30%) + Teste (70%). - Avaliação por Exame (100%), em qualquer uma das épocas de exame. - Os professores responsáveis reservam-se o direito de fazer orais sempre que considerem necessário.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

São usadas três metodologias: exposição e discussão da matéria (MEA1), resolução de exercícios (MEA2) e trabalho autónomo dos alunos (MEA3). Num primeiro momento, as aulas têm um carácter expositivo, MEA1. O professor apresenta os exemplos ilustrativos, conceitos teóricos e alguns teoremas fundamentais. Sempre que possível, os alunos são desafiados a participar e a discutir os conceitos apresentados. A MEA2 é usada num segundo momento, focando-se na aplicação prática dos conceitos aprendidos. Os exercícios podem ser resolvidos individualmente ou em grupos, dentro e fora da sala de aula. Nestas aulas de carácter prático, os alunos resolvem os problemas indicados no Planeamento da Unidade Curricular (PUC), com a orientação do professor. Paralelamente, o aluno deve realizar um trabalho autónomo (MEA3), onde se incentiva a autonomia e a responsabilidade no processo de aprendizagem, e envolve a resolução de exercícios recomendados pelos professors e a leitura da bibliografia recomendada.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

A metodologia MEA1, que consiste na exposição e discussão da matéria, é fundamental para alcançar todos os objetivos de aprendizagem. Durante as aulas os alunos são apresentados aos conceitos e teoremas essenciais e isso é crucial para todos os objetivos. Além disso, ao discutir e participar ativamente nas aulas, os alunos reforçam sua capacidade de relacionar e integrar conceitos matemáticos, contribuindo assim para os objetivos. A compreensão destes conceitos prepara os alunos para aplicar esses conhecimentos em problemas reais, alinhando-se com OA2, OA4 e OA6. A metodologia MEA2, que se centra na resolução de exercícios práticos, permite que os alunos apliquem os conceitos aprendidos. Esta abordagem é importante para todos os objetivos. Só através da resolução de exercícios se compreende verdadeiramente a teoria e se consegue tranpo-la para aplicações práticas. O trabalho autónomo (MEA3) é vital para aprofundar a compreensão dos alunos, é desta forma que os alunos consolidam o conhecimento adquirido nas aulas. A avaliação é projetada para medir a compreensão e a aplicação dos conceitos aprendidos de forma contínua e cumulativa. A avaliação periódica, composta por mini testes em aula e um teste final, permite que os alunos demonstrem a sua compreensão e aplicação dos conceitos de forma progressiva. Os mini testes avaliam a assimilação contínua dos conceitos, cobrindo OA1 a OA6. O teste final avalia a capacidade dos alunos de aplicar todos os conceitos aprendidos durante o curso.

Observações / Observations

-Na avaliação ao longo do semestre o teste final tem nota mínima de 9.0 valores.

Bibliografia Principal / Main Bibliography

Stewart, J. (2016) Calculus, Early Transcendentals, 8th Edition,Cengage Learning. Lipsman, R. L., & Rosenberg, J. M. (2017). Multivariable Calculus with MATLAB. Springer International Publishing AG.

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

Pires, G. (2012) Cálculo Diferencial e Integral em Rn, IST Press, (1ª Edição).

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-30