Ficha Unidade Curricular (FUC)

Informação Geral / General Information

Carga Horária / Course Load

Área científica / Scientific area

Matemática

Departamento / Department

Departamento de Matemática

Ano letivo / Execution Year

2024/2025

Pré-requisitos / Pre-Requisites

Nenhum (para além dos requisitos de admissão)

Objetivos Gerais / Objectives

A UC de Análise Matemática tem como objetivo dotar os alunos de uma base teórica do cálculo infinitesimal bem como da sua aplicação. O âmbito da UC compreende o cálculo diferencial em R, o cálculo integral em R, e o cálculo diferencial em Rn. Pretende-se ainda que os alunos se familiarizem com ferramentas computacionais no apoio ao cálculo numérico e representações gráficas de curvas e superfícies.

Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes

Pretende-se que, no final da unidade curricular, os alunos sejam capazes de: OA1: Desenvolver competências de abstração; OA2: Calcular derivadas e integrais em R, e interpretar os resultados; OA3: Calcular limites, estudar a continuidade e aplicar o cálculo diferencial para funções de mais de uma variável; OA4: Usar métodos numéricos para calcular valores aproximados de derivadas e integrais; OA5: Usar uma ferramenta computacional para representar graficamente linhas e superfícies.

Conteúdos Programáticos / Syllabus

1. Cálculo em R 1.1 Derivação 1.1.1 Conceito de Derivada 1.1.2 Regras de Derivação 1.1.3 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy 1.1.4 Métodos Numéricos: Bissecção e Newton-Raphson 1.1.5 Gráficos de Funções 1.2 Primitivação 1.2.1 Definição de Primitiva 1.2.2 Primitivas Imediatas 1.2.3 Primitivação por Partes 1.2.4 Primitivas de Funções Racionais 1.2.4 Primitivas por Substituição 2. Cálculo Integral em R 2.1 Integral de Riemann 2.2 Condições de Integrabilidade 2.3 Interpretação Geométrica 2.4 Teorema Fundamental do CI 2.5 Regra de Barrow 2.6 Métodos Numéricos: 2.6.1 Derivação 2.6.2 Integração 3. Cálculo em Rn 3.1 Topologia 3.2 Gráficos de Funções 3.3 Continuidade 3.4 Limite 3.5 Derivadas Parciais e Direcionais 3.6 Diferenciabilidade 3.7 Gradiente e sua Representação 3.8 Diferencial de Primeira Ordem 3.9 Derivada da Função Composta 3.10 Derivadas de Ordem Superior 3.11 Teoremas de Young e de Schwarz 3.12 Diferenciais de Ordem Superior 3.13 Fórmula de Taylor 3.14 Extremos

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes

Esta "demonstração de coerência" decorre da interligação dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem (OA), como a seguir se explicita: De uma forma geral, todos os conteúdos programáticos encontram-se associados ao OA1, o qual pretende desenvolver nos alunos competências de abstração, particularmente úteis na resolução de problemas em Informática. Os pontos 1 e 2 do programa, sendo relativos ao Cálculo em R, dão suporte ao OA2, que especificamente diz respeito ao cálculo diferencial e integral. O Cálculo em Rn, referido no ponto 3 do programa, pretende cumprir o OA3, i.e., dotar os alunos com conhecimentos sobre como manipular funções de mais de uma variável. As abordagens a métodos numéricos, a que se referem os pontos 1.1.4 e 2.6, e ainda a representação gráfica, quer em 2D (ponto 1.1.5) quer em 3D (ponto 3.2), ambos com recurso a meios computacionais, pretendem cumprir, respetivamente, o OA4 e o OA5.

Avaliação / Assessment

Aprovação com classificação não inferior a 10 valores numa das seguintes modalidades: - Avaliação ao longo do semestre: teste intermédio (37.5%) + teste final (37.5%) + dois trabalhos de grupo, um sobre cálculo numérico e outro sobre representação gráfica (25%, 12.5% cada). - Avaliação por Exame (100%), em qualquer uma das épocas de exame. O exame tem uma componente teórico-prática (75%) e uma componente computacional (25%). Os alunos que tenham tido aproveitamento nos trabalhos de grupo poderão dispensar-se de realizar esta última componente. A nota mínima em qualquer avaliação é de 8 valores. As notas finais superiores a 16 valores sujeitam-se a homologação através de uma prova oral.

Metodologias de Ensino / Teaching methodologies

O ensino da UC compreende aulas de carácter teórico-prático e três aulas laboratoriais com programação em MATLAB. Desenrolam-se de acordo com as seguintes metodologias de ensino-aprendizagem: MEA1. Exposição e discussão. MEA2. Resolução de exercícios. MEA3. Autoestudo, segundo o trabalho autónomo do aluno, parcialmente organizado pelo planeamento semanal de aulas. O aluno deve dedicar 4 a 6 horas semanais em trabalho autónomo para (i) revisão da matéria, (ii) resolução de exercícios/problemas.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes

As metodologias de ensino-aprendizagem (MEA) visam atingir os objetivos de aprendizagem (OA) conforme indicado a seguir: De uma forma geral, todos os métodos de ensino estão implicados com os cinco OA. A exposição da matéria e posterior discussão (MEA1) permite desenvolver competências de abstração, tal como expresso no OA1. A concretização das matérias teóricas, com resolução de exercícios (MEA2), envolvendo todos os alunos, permite, numa primeira fase, avaliar coletivamente a aprendizagem. A avaliação individual das matérias teórico-práticas, a que se referem os OA2 e OA3, é feita através de provas escritas. A avaliação das competências adquiridas em termos do cálculo numérico (OA4) e da representação gráfica (OA5) é feita através dos trabalhos de grupo. Em todo o caso, o autoestudo é fundamental para uma aprendizagem bem sucedida.

Observações / Observations

Bibliografia Principal / Main Bibliography

[1] J. Campos Ferreira (2011), "Introdução à Análise Matemática" (Fund. Calouste Gulbenkian). [2] J. Campos Ferreira (2004), "Introdução à Análise em Rn", (AEIST) (https:/ /math.tecnico.ulisboa.pt/ textos/iarn.pdf) [3] F.R. Dias Agudo, "Análise Real" (1994), Vol 1, (Esc. Editora) [4] A. Suleman, J. Rocha, e A. Alho, "Apontamentos de Aula" (a disponibilizar na plataforma Moodle). [5] S.Mendes e A. Suleman, "Notas sobre o cálculo em Rn" (a disponibilizar na plataforma Moodle).

Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography

[1c] A. Suleman, "Notas sobre Cálculo Numérico", (a disponibilizar na plataforma Moodle). [2c] A. López, "Notas sobre Representação de Superfícies em MATLAB", (a disponibilizar na plataforma Moodle).

Data da última atualização / Last Update Date

2024-07-23