Ficha Unidade Curricular (FUC)
Informação Geral / General Information
Carga Horária / Course Load
Área científica / Scientific area
Matemática
Departamento / Department
Departamento de Matemática
Ano letivo / Execution Year
2024/2025
Pré-requisitos / Pre-Requisites
Aprovação prévia à UC Matemática (L5027) é altamente recomendada. Nomeadamente, conhecimentos essenciais sobre funções reais de variável real: domínio e contradomínio, função composta, função inversa e função implícita, limites, continuidade, derivação, fórmula de Taylor.
Objetivos Gerais / Objectives
Esta UC vem no seguimento da UC Matemática, do 1o semestre, a qual é dedicada ao cálculo para funções de uma só variável. Nesta UC pretende-se que os alunos adquiram as ferramentas principais da álgebra linear, do cálculo de funções de mais de uma variável e da otimização, ao mesmo tempo que se transmite a utilidade dos conceitos apreendidos no contexto das licenciaturas em que se insere a UC. Para tal, abordam-se, sempre que possível, aplicações a outras áreas, dando particular ênfase às da economia, gestão ou finanças.
Objetivos de Aprendizagem e a sua compatibilidade com o método de ensino (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes) / Learning outcomes
No final desta UC o aluno deverá: OA1. Dominar a linguagem vetorial e matricial, usá-la para resolver e classificar sistemas de equações lineares; calcular, interpretar e aplicar determinantes de matrizes; calcular e interpretar valores e vetores próprios, diagonalizar matrizes e aplicar estas ferramentas para classificar formas quadráticas. OA2. Conhecer diferentes pontos de vista para o estudo de funções de mais de uma variável (descritivo, numérico, algébrico e gráfico), bem como os conceitos fundamentais de limite, continuidade e diferenciabilidade destas funções. Adquirir familiaridade no cálculo de derivadas parciais e reconhecer as diferenças em relação ao cálculo com funções de uma só variável. OA3. Reconhecer e resolver problemas de otimização, não condicionada e condicionada, que envolvem funções com mais de uma variável; reconhecer e formular um problema de otimização linear e determinar graficamente a sua solução ótima, no caso de duas variáveis.
Conteúdos Programáticos / Syllabus
CP1. Álgebra Linear - Sistemas de equações lineares: Eliminação de Gauss. Classificação de sistemas. - Matrizes e álgebra matricial: Propriedades. Dependência e independência de linear. Característica duma matriz. Eliminação de Gauss-Jordan. - Determinantes: Definição, propriedades e utilidade. Inversão de matrizes. - Valores e vetores próprios. Diagonalização. - Formas quadráticas. CP2. Funções de mais de uma variável - Funções definidas em R^n. - Limites e continuidade. Derivadas parciais. - Planos tangentes e aproximações lineares. Diferenciabilidade. - A regra da cadeia. Derivação implícita. - Derivadas direcionais e o vetor gradiente. CP3. Otimização em R^n - Extremos livres em R^n: Extremos locais e absolutos. Matriz Hessiana. - Extremos condicionados em R^n: Multiplicadores de Lagrange. - Programação linear: Método gráfico. Interpretação económica.
Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the curricular units content dovetails with the specified learning outcomes
Os conteúdos programáticos CP1 (Álgebra Linear) fornecem uma base matemática coerente e completa para atingir os objetivos de aprendizagem OA1. Os conteúdos programáticos CP2 (Funções de mais de uma variável) vêm no seguimento da UC Matemática, permitindo extender grande parte dos conceitos aí aprendidos ao caso de funções de várias variáveis, assim atingindo o objetivo de aprendizagem OA2. Os conteúdos programáticos CP3 (Otimização em R^n) beneficiam dos conhecimentos técnicos adquiridos com CP1 e CP2, empregando-os para formular e resolver problemas de otimização (OA3).
Avaliação / Assessment
A aprovação na UC poderá ser obtida através de qualquer uma das seguintes modalidades de avaliação: (AS) Avaliação ao Longo do Semestre: - Assiduidade mínima: presença em, pelo menos, dois terços das aulas (= 24 aulas). - 3 mini-testes presenciais (10%) realizadas em aula ao longo do período letivo, contando para a nota final as duas melhores notas obtidas (contribuindo 5% cada uma). Nota mínima de 10.0 valores na média aritmética dos dois melhores mini-testes. - 3 quizzes online (15%), realizados no Moodle ao longo do período letivo, contando para a nota final a média das notas obtidas (5% cada). Nota mínima de 10.0 valores na média aritmética dos três quizzes. - Frequência (75%): prova escrita realizada na 1a época ou na 2a época de exames. Nota mínima de 8.50 valores. (AE) Avaliação por Exame: - Realização de uma prova escrita (com um peso de 100%), na 1a época ou na 2a época do período de avaliação. 1. A nota final mínima de aprovação na unidade curricular é de 9.50 valores, arredondando para uma nota final de 10 valores. 2. A Frequência e o Exame ocorrem em simultâneo, englobando toda a matéria. 3. Um aluno será excluído da modalidade de Avaliação ao Longo do Semestre, passando automaticamente para o modo de Avaliação por Exame, se obtiver nota inferior a 10.0 valores na média dos três quizzes ou na média dos dois melhores mini-testes. 4. Se a nota obtida no exame de 1a ou de 2a época for superior à nota obtida na Avaliação ao Longo do Semestre, a modalidade passa automaticamente para Avaliação por Exame. (Ou seja, conta a melhor das 2 notas.) 5. Regras dos quizzes online: - Serão realizados 3 quizzes ao longo do período letivo, utilizando-se a plataforma de e-learning Moodle. - Cada quiz poderá ser realizado ao longo de 72 horas as quais serão oportunamente anunciadas. No entanto, após o início, a prova terá a duração máxima de 30 minutos (45 minutos para alunos com NEE que exijam mais 50% de tempo). - Os quizzes devem ser resolvidos individualmente, e cada aluno dispõe de uma única tentativa para submeter um quiz. - A nota final dos quizzes será a média aritmética das notas das 3 provas online. 6. A avaliação na época especial apenas contempla a modalidade de Avaliação por Exame. 7. Os alunos repetentes dispõem das mesmas modalidades de avaliação, sujeitas às mesmas regras. 8. Os professores responsáveis reservam-se o direito de realizar provas orais sempre que se justifique. 9. Prevê-se também a realização de provas orais para defesa de notas finais superiores a 17 valores.
Metodologias de Ensino / Teaching methodologies
A componente letiva decorre em aulas teórico-práticas. Pretende-se alternar momentos de caráter expositivo, onde se apresentam os conceitos teóricos acompanhados de exemplos ilustrativos, com uma componente prática, onde serão resolvidos os exercícios propostos no PUC. O método de ensino na vertente prática é principalmente participativo e de discussão. Ou seja, a resolução dos exercícios é feita em conjunto com os alunos, que são incentivados a pensar nos mesmos antes da aula. Espera-se que o aluno realize um trabalho autónomo, com a resolução de exercícios fornecidos pelo docente e leitura da bibliografia recomendada. De forma a motivar o aluno a acompanhar as aulas e a realizar o trabalho autónomo escolheu-se um processo de avaliação periódica com momentos de avaliação frequentes e variados. O PUC foi elaborado de forma a funcionar como documento orientador no processo de ensino-aprendizagem do aluno: contém informação, aula a aula, dos conteúdos teóricos e práticos lecionados, acompanhados da respetiva referência bibliográfica. Existem ainda períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer as suas dúvidas.
Demonstração da coerência das metodologias de ensino e avaliação com os objetivos de aprendizagem da UC / Evidence that the teaching and assessment methodologies are appropriate for the learning outcomes
As metodologias de ensino-aprendizagem visam atingir os objetivos de aprendizagem. As componentes teóricas abrangem todos os objetivos conceptuais de aprendizagem, fundamentais para a compreensão dos diferentes conteúdos programáticos. As componentes práticas permitem testar e aplicar os conhecimentos anteriormente adquiridos, através da resolução de exercícios, abrangendo assim os restantes objetivos de aprendizagem.
Observações / Observations
Não é permitido o uso de máquinas de calcular, telemóveis, smart watches, ou quaisquer outros equipamentos eletrónicos nas provas escritas. A utilização ilícita de tais equipamentos será sancionada em concordância com o Regulamento Disciplinar de Discentes. Os professores responsáveis reservam-se o direito de realizar provas orais sempre que se justifique. Prevê-se também a realização de provas orais para defesa de notas finais superiores a 17 valores.
Bibliografia Principal / Main Bibliography
Howard Anton & Chris Rorres, "Álgebra Linear com Aplicações", Tradução da 10a Edição, 2012, Bookman. James Stewart, "Cálculo, Volume 2", Tradução da 8a Edição Norte Americana, 2016, Cengage Learning. Howard Anton & Chris Rorres, "Elementary Linear Algebra: Applications Version", 10th Edition, 2010, Wiley. James Stewart, "Calculus : Early Transcendentals", 8th Edition, International Metric Edition, 2016, Cengage Learning.
Bibliografia Secundária / Secondary Bibliography
Knut Sydsaeter, Peter Hammond, Arne Strom & Andrés Carvajal, "Essential Mathematics for Economic Analysis", 5th edition, 2016, Pearson. Alpha C. Chiang & Kevin Wainwright, "Fundamental Methods of Mathematical Economics", 4th Edition, 2005, McGraw-Hill.
Data da última atualização / Last Update Date
2024-07-20