Sumários
Aula 8
24 Setembro 2022, 09:00 • Rita Sousa
- Capítulo 4: Limites e Continuidade
* Sub-capítulo 4.1: Limites de funções em espaços métricos
- Definição de limite de uma função entre espaços métricos em um ponto de acumulação do seu domínio;
- Caracterização do limite de uma função num ponto de acumulação, através da convergência das imagens de qualquer sucessão convergente para o ponto;
- Propriedades algébricas do limite de funções reais de variável real,
* Sub-capítulo 4.2: Continuidade de uma função entre espaços métricos
- Definição de função contínua num ponto - exemplos;
- Continuidade em pontos de acumulação e continuidade em pontos isolados.
* Sub-capítulo 4.3: Continuidade e compacidade
- Breves noções de teoria de conjuntos: definição de imagem e imagem inversa de subconjuntos - propriedades essenciais;
- Caracterização das funções contínuas enquanto funções cujas imagens inversas de abertos são abertas;
- A compacidade da imagem de um compacto por meio de uma função contínua;
- Existência de máximo e mínimo para funções reais contínuas definidas sobre um subconjunto compacto de um espaço métrico.
- Capítulo 5: Cálculo Diferencial
- Definição de função real de variável real diferenciável num ponto do seu domínio;
- Notação de Landau e caracterização de uma função diferenciável através da aproximação linear;
- Regra da cadeia;
- Teorema de Fermat e Teorema de Rolle;
- Teorema do Valor Médio de Lagrange.
- Capítulo 6: Cálculo Integral
- Definição de partição de um intervalo fechado;
- Definição de refinamento de uma partição;
- Definição de soma de Darboux superior (e inferior) de uma função limitada, em relação a uma partição;
-Definição de integrais de Darboux superiores e inferiores de uma função limitada num intervalo fechado;
- Definição de integral (de Riemann) de uma função num intervalo fechado;
- Breve discussão das propriedades algébricas do integral;
- Breve discussão do Teorema Fundamental do Cálculo.
Aula 7
23 Setembro 2022, 17:30 • Rita Sousa
- Capítulo 3: Sucessões e Séries no conjunto dos números reais
* Sub-capítulo 3.1: Sucessões em espaços métrico
- Definição de sucessão limitada num espaço métrico - exemplos;
- Convergência de sucessões limitadas em espaços métricos;
- Questões de convergência para sucessões reais limitadas (Teorema de Bolzano-Weierstrass).
* Sub-capítulo 3.2: Sucessões reais
- Definição de sucessão real monótona - exemplos;
- Equivalência entre sucessões monótonas limitadas e sucessões monótonas convergentes;
- Propriedades algébricas do limite de sucessões reais.
* Sub-capítulo 3.3: Séries
- Definição de n-ésima soma parcial de uma sucessão real;
- Definição de série e de termo geral de uma série;
- Definição de série convergente, divergente e soma de uma série convergente;
- Propriedades algébricas das séries e observações;
- Critério geral de convergência para séries;
* Sub-capítulo 3.4: Séries com termo geral positivo
- Equivalência entre séries com termo geral positivo convergentes e sucessões de somas parciais limitadas;
- Critério geral de comparação para séries;
- Critério do comportamento assimptótico;
- Critério da subsucessão dos termos exponenciais - aplicação ao estudo das p-séries de Dirichlet.
Aula 6
17 Setembro 2022, 11:00 • Rita Sousa
- Capítulo 2: Topologia do conjunto dos números reais
* Sub-capítulo 2.2: Subconjuntos compactos
- Existência de pontos de acumulação de subconjuntos infinitos em compactos num espaço métrico;
- Definição de subconjunto limitado num espaço métrico e exemplos;
- Teorema de Heine-Borel (caracterização dos subconjuntos compactos no conjunto dos números reais);
- Teorema de Weierstrass (existência de pontos de acumulação de subconjuntos infinitos e limitados no conjunto dos números reais).
- Capítulo 3: Sucessões e Séries no conjunto dos números reais
* Sub-capítulo 3.1: Sucessões em espaços métricos
- Definição de sucessão num espaço métrico e introdução da terminologia relevante;
- Exemplos notáveis de sucessões: sucessão constante , sucessão real alternada e progressões geométricas;
- Definição de subsucessão de uma sucessão num espaço métrico e exemplos;
- Definição de convergência de uma sucessão para um ponto num espaço métrico e definição de limite de uma sucessão;
- Caracterização da convergência em termos de subsucessões;
- Unicidade do limite de sucessões em espaços métricos;
- Caracterização de pontos de acumulação enquanto limites de sucessões;
- Convergência em compactos e existência de subsucessões convergentes.
- Entrega da Ficha 3
Aula 5
16 Setembro 2022, 17:30 • Rita Sousa
- Capítulo 2: Topologia do conjunto dos números reais
* Sub-capítulo 2.1: Espaços métricos
- Definição de fecho de um subconjunto de um espaço métrico e primeiras propriedades do fecho;
- Identificação do supremo de um subconjunto não vazio e majorado dos números reais enquanto elemento do seu fecho.
*Sub-capítulo 2.2: Subconjuntos compactos
- Definição de cobertura aberta de um subconjunto de um espaço métrico;
- Definição de subcobertura de uma cobertura aberta;
- Definição de subconjunto compacto num espaço métrico;
- Primeiros resultados sobre subconjuntos compactos (compactos são fechados; todo o fechado contido num compacto também é compacto; mais geralmente, a intersecção de um fechado com um compacto é compacta);
- Exemplos de subconjuntos não compactos do conjunto dos números reais;
- Compacidade dos intervalos fechados no conjunto dos números reais.
Aula 4
10 Setembro 2022, 11:00 • Rita Sousa
- Capítulo 2: Topologia do conjunto dos números reais
* Sub-capítulo 2.1: Espaços Métricos
- Definição de métrica e de espaço métrico;
- Primeiras noções em espaços métricos: definição de ponto de acumulação, ponto isolado, subconjunto fechado, vizinhança e subconjunto aberto;
- Primeira caracterização de pontos de acumulação;
- Leis de De Morgan (teoria de conjuntos revisitada) e caracterização de abertos e fechados em termos do seu complementar;
- Entrega da Ficha 2.