A equação de Black-Scholes é uma variante retrógrada da equação do calor. O seu problema de Cauchy pode ser resolvido explicitamente para certas condições finais T>0 (maturidade da opção de compra ou venda). A fórmula é obtida a partir da solução para a equação do calor com uma transformação de variáveis e um fator exponencial. Dedução da fórmula no caso da opção de "call" europeia e, usando a relação de paridade "put-call" a dedução da fórmula da opção de "put" europeia. O caso das opções americanas corresponde a uma inequação de Black-Scholes com a solução sujeita a uma obstáculo, o que determina um problema com uma fronteira livre que, em geral, apenas se resolve numericamente.

Indicações para os restantes exercícios e para um exame modelo (Exame de 12/04/2018).

A equação de Black-Scholes é uma variante retrógrada da equação do calor. O seu problema de Cauchy pode ser resolvido explicitamente para certas condições finais T>0 (maturidade da opção de compra ou venda). A fórmula é obtida a partir da solução para a equação do calor com uma transformação de variáveis e um fator exponencial. Dedução da fórmula no caso da opção de "call" europeia e, usando a relação de paridade "put-call" a dedução da fórmula da opção de "put" europeia. O caso das opções americanas corresponde a uma inequação de Black-Scholes com a solução sujeita a uma obstáculo, o que determina um problema com uma fronteira livre que, em geral, apenas se resolve numericamente.

Indicações para os restantes exercícios e para um exame modelo (Exame de 12/04/2018).

Revisão da transformação de Fourier e da sua transformação inversa para as funções integráveis. Extensão às funções de ordem exponencial. A transformação de Fourier em L ²: a igualdade de Parseval nas normas da média quadrática e da norma da média quadrática com a norma da série dos quadrados das densidades espetrais. A transformação de Fourier do coseno e a solução da equação do calor na semi-reta. Fórmulas de Feyman-Kac. Equações lineares com mais de duas variáveis e o exemplo do problema de Dirichlet para a equação do calor num retângulo. A equação de Black-Scholes-Merton

Indicações para a resolução dos exercícios de 102 a 106.

Revisão da transformação de Fourier e da sua transformação inversa para as funções integráveis. Extensão às funções de ordem exponencial. A transformação de Fourier em L ²: a igualdade de Parseval nas normas da média quadrática e da norma da média quadrática com a norma da série dos quadrados das densidades espetrais. A transformação de Fourier do coseno e a solução da equação do calor na semi-reta. Fórmulas de Feyman-Kac. Equações lineares com mais de duas variáveis e o exemplo do problema de Dirichlet para a equação do calor num retângulo. A equação de Black-Scholes-Merton

Indicações para a resolução dos exercícios de 102 a 106.

O problema de Cauchy para a equação do calor na reta: o problema da (não) unicidade de soluções e primeiras soluções particulares. Condições suficientes do comportamento da solução no infinito para a a solução do problema de Cauchy ser única. O método da separação das variáveis permite obter soluções para o problema periódico num intervalo de comprimento l para a equação do calor com condição inicial desenvolvida em série de Fourier. Fazendo l tender para infinito obtém-se heuristicamente a fórmula de Fourier que fornece uma fórmula para a solução do problema de Cauchy para a equação do calor na reta. A transformada de Fourier e a sua inversa para funções integráveis na reta real. A sua utilização para a obtenção da do problema de Cauchy para a equação do calor na forma da convolução do núcleo de Gauss-Weierstrass com condições iniciais de ordem exponencial. Primeiros exemplos e proposta de trabalho para casa: E xercícios 95 a 101 .